Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

33
где
[]
()
.,1,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=∈
∀
dt
tda
anji
ij
ij
&
Производная вектора-столбца
()
T
n
aaaa ...
21
= по ска-
лярному параметру t запишется в виде:
(
)
T
n
aaaa
&&&
&
...
21
= .
Задача. Вычислить первую производную матрицы A , имеющую вид
,
cossin
333232131
232221
131211
3
21
3
21
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ttgkptkptkp
epepep
tptptp
A
tk
tktk
k
kk
где
[]
()
.,,1, Rkpnji
iij
∈∈∀
Решение. Согласно правилам дифференцирования показательной, степенной и три-
гонометрических функций и определению (1.13), получим следующий вид производ-
ной этой матрицы:
.
cos
2cos
sincos
3
2
3
33323221311
233222211
1
133
1
122
1
111
3
21
3
21
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
−−
tk
tk
pktkpktkpk
epkepkepk
tpktpktpk
A
tk
tktk
k
kk
&
Аналогично определяются вторая и другие высшие производные матриц, зависящие от
скалярного аргумента .t
1.9.2. Свойства производных переменной матрицы как функции
скалярного аргумента
Пусть заданы переменные матрицы
(
)
[
]
(
)
piMtA
nni
,1
,
∈
∈
, зависящие от скалярного ар-
гумента t . Если каждый элемент этих матриц является дифференцируемой функцией,
то такие матрицы будем называть
дифференцируемыми.
1.
Производная конечной линейной комбинации матриц .
i
A
Представим матрицу
A
в виде суммы матриц семейства
[]
{
}
,,1, piA
i
∈
умноженных
на постоянные числа
i
λ
вещественного поля .R Имеем следующую запись:
()
∑
=
=
p
i
ii
AtA
1
.
λ
Тогда производная этой матрицы по t запишется в виде:
()
∑
=
=
p
i
ii
AtA
1
,
&&
λ
где −
i
A
&
производная от матрицы .
i
A
2.
Производная произведения матриц .
i
A
Составим из матриц вышеприведенного семейства дифференцируемых матриц про-
изведение
()
.
1
∏
=
=
p
i
i
AtA
Для общности выкладок положим, что −= EA
0
единичная
матрица. Тогда дифференцируя правую часть этого выражения, получим следую-
щую запись производной матрицы
:A
.
1
1
01
∑
∏∏
=
−
=+=
=
p
m
m
k
p
mj
jmk
AAAA
&&
В частности, `для трех

Страницы