Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Изоклиной называется кривая, представляющая геометрическое место точек, в которых касательные
ко всем интегральным кривым наклонены под одним и тем же углом к оси абсцисс.
Методика построения фазового портрета методом изоклин складывается из следующих этапов:
1 Построение изоклин;
2 Нанесение направления касательных к фазовым траекториям;
3 Определение характера искомого фазового портрета.
При использовании метода изоклин считается известным система дифференциальных уравнений
(11.2), описывающая исследуемую систему, для которой предстоит построить фазовый портрет. Следо-
вательно, известно уравнение фазовых траекторий (11.3)
(
)
()
211
212
1
2
,
,
yyf
yyf
dy
dy
=
. Для получения изоклин необ-
ходимо положить
const
1
2
=
dy
dy
, т.е.
(
)
()
const
,
,
211
212
=
yyf
yyf
. (11.4)
Задавая различные значения константы – )(C в (11.4), на фазовой плоскости строится семейство
изоклин, на которых под углом Carctg=
γ
к оси абсцисс наносятся стрелки и по ним определяется харак-
тер фазового портрета системы.
Допустим, что поле изоклин имеет вид, представленный на
рис. 11.8. Начальное положение изображающей точки выбирается произвольно на изоклине 0
1
=
C . Из
этой точки
0
M проводится два отрезка: один под углом
11
arctgC
=
γ
, а другой под углом
22
arctgC
=
γ
до
пересечения их с соседней изоклиной
2
C .
Точки пересечения отрезков с изоклиной обозначаются
1
M
′
и
1
M
′
′
, соответственно. За точку фазо-
вой траектории принимается точка
1
M ,
y
1
y
2
C
1
= 0
M
1
M'
M"
M
M
2
1
1
0
C = 0
Рис. 11.8 Построение фазового портрета методом изоклин
лежащая между ними. Повторяя построения таким же образом, но из точки
1
M , т.е. проводя два отрезка
до соседней изоклины под углом
22
arctgC=γ и
33
arctgC
=
γ
, находится точка
2
M и т.д. Точность фазового
портрета зависит от числа изоклин, по которым он строится. Особым точкам на фазовой плоскости со-
ответствуют точки пересечения нескольких изоклин, так как в них направление фазовых траекторий
становится неопределенным.
Пример 11.2 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом изоклин. Система описы-
вается нелинейным дифференциальным уравнением
()
01
2
2
2
=+−− y
dt
dy
yk
dt
yd
.

Страницы