Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Согласно этому методу фазовая траектория строится по частям, каждой из которых соответствует
линейный участок статической характеристики. На таком рассматриваемом участке система линейна и
ее решение может быть найдено непосредственным интегрированием уравнения для фазовой траекто-
рии этого участка. Интегрирование уравнения при построении фазовой траектории производится до тех
пор, пока последняя не выйдет на границу следующего участка. Значения фазовых координат в конце
каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на сле-
дующем участке. В этом случае говорят, что начальные условия припасовываются, т.е. конец преды-
дущего участка фазовой траектории является началом следующего. Граница между участками называ-
ется линией переключения.
Таким образом, построение фазового портрета методом припасовывания производится в следую-
щей последовательности:
1) выбираются или задаются начальные условия;
2) интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали на-
чальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;
3) производится припасовывание начальных условий.
Пример 11.3 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом припасовывания.
Нелинейная система описывается следующей системой дифференциальных уравнений
=
=
;
;
нэ
1
2
1
f
dt
dy
y
dt
dy
<
<−
>
>
>−
<
=
.0при
1при1
1при1
;0при
1при1
1при1
2
1
1
2
1
1
нэ
y
y
y
y
y
y
f
Начальные условия: 1)0(
101
−=
=
yy ; 1)0(
202
−
=
=
yy .
Статическая характеристика нелинейного элемента является кусочно-линейной функцией, имею-
щей два участка линейности. В связи с этим система дифференциальных уравнений для первого и вто-
рого участков соответственно будет иметь вид
()
*
1
;
2
2
1
=
=
dt
dy
y
dt
dy
и
()
−=
=
**
.1
;
1
2
1
dt
dy
y
dt
dy
Фазовая плоскость разбивается на участки, на каждом из которых движение изображающей точки
описывается одним из линейных уравнений
(
)
* или
(
)
** . Границей между участками является линия
АВСD – линия переключения (рис. 11.11).
При заданных начальных условиях изображающая точка находится на входе в первый участок, сле-
довательно, первый участок фазовой траектории
10
ММ находится интегрированием уравнения
(
)
* при
начальных условиях
10
y ,
20
y . Поделив второе уравнение на первое, получают
212
/1/ ydydy
=
, откуда
уравнение фазовой траектории
10
2
2
2
yC
y
=+
, где 2/3
0
−
=
C .
Конечная точка первого участка находится как точка пересечения с линией переключения АВ, на
которой 1
1
=y , следовательно из 12/32/
2
2
=−y , 23,2
2
=
y . Координаты точки
1
М )23,2;1( являются началь-
ными условиями для решения системы уравнений
(
)
** , описывающей второй участок фазовой траекто-
рии
21
ММ , т.е. так же как для первого участка, для второго участка получают
21
2
1
ydy
dy
−=
, откуда
11
2
2
2
yC
y
−=+
, 5,3
1
−
=
C .
Координаты точки
2
М находятся как координаты точки пересечения фазовой траектории второго
участка с линией переключения CD:
;15,32/
2
2
=−y ;1
1
−
=
y .3
2
−
=
y

Страницы