Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

может оказаться опасным сколь угодно малый выход системы за пределы области устойчивости. Значе-
ния параметров
1
a и
2
a , при которых качественно изменяется картина фазового портрета называются
бифуркационными.
Для определения автоколебаний и их исследования разработаны специальные методы и критерии.
13.2 Методы исследования автоколебаний
13.2.1 КРИТЕРИЙ БЕНДИКСОНА
В ряде случаев можно воспользоваться критериями, с помощью которых удается показать, что в фа-
зовом портрете рассматриваемой системы нет замкнутых фазовых траекторий, т.е. в рассматриваемой
системе автоколебания отсутствуют. Одним из таких критериев отсутствия замкнутых фазовых траек-
торий, дающих достаточные условия отсутствия автоколебаний, является критерий Бендиксона, кото-
рый наиболее прост для практического применения.
Пусть рассматриваемая система описывается системой дифференциальных уравнений второго по-
рядка
(
)
()
()
()
=
=
,,
;,
212
2
211
1
yyF
dt
tdy
yyF
dt
tdy
где ),(
211
yyF , ),(
212
yyF – нелинейные функции аналитические на всей фазовой плоскости.
Критерий Бендиксона формулируется следующим образом: если в некоторой области на фазовой
плоскости выражение
2211
// yFyF ∂∂
+
∂∂ знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фа-
зовых траекторий.
В тех случаях, когда критерий Бендиксона не выполняется или не может быть использован, напри-
мер, функции ),(
211
yyF , ),(
212
yyF не являются аналитическими, применяются другие методы для опре-
деления автоколебательных режимов.
Прежде чем рассмотреть другие методы нахождения автоколебаний, приведем следующий пример на
использование критерия Бендиксона.
Пример 13.1 Пусть химический реактор идеального перемешивания, в котором протекает химиче-
ская реакция типа BA 2→ , описывается следующими уравнениями
−λ+−=
−λ++−=
)),(()()(
)(
));(()()(
)(
2202
2
1
2
1102
2
1
1
tyytyty
dt
tdy
tyytyty
dt
tdy
где
1
y ,
2
y – текущие концентрации реагентов в реакторе;
10
y ,
20
y – начальные входные концентрации
реагентов;
λ – расход;
t
– время.
Требуется ответить на вопрос: будут или нет автоколебания в химическом реакторе, используя кри-
терий Бендиксона. В соответствии с этим критерием находится выражение
.22
1
2
2
1
1
λ−−−=
∂
∂
+
∂
∂
y
y
F
y
F
Очевидно, что в соответствии с физическим смыслом 0
1
≥y , 0
2
≥y , т.е. концентрации не могут быть
отрицательными, а также 0>λ , последнее выражение представляет собой знакопостоянную отрица-
тельную функцию. Следовательно, согласно критерию Бендиксона в рассматриваемой системе – хими-
ческом реакторе автоколебания существовать не могут.
13.2.2 МЕТОД ТОЧЕЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Страницы