Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Этот метод используется для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления ав-
токолебаний в системе и изучения их устойчивости. Суть метода заключается в следующем.
Рассмотрим на фазовой плоскости отдельную фазовую траекторию и какую-либо полупрямую, на-
пример
1
Oy (рис. 13.3).
В некоторый момент времени фазовая траектория пересечет положительную полуось в точке
1
M с
координатой
1
1
y . При дальнейшем движении фазовая траектория вновь пересечет положительную полу-
ось, но уже в точке
2
M с координатой
2
1
y .
Через каждую точку полуоси
1
Oy проходит лишь одна фазовая траек-
тория, поэтому обходу изображающей точки вокруг начала координат со-
ответствует переход произвольной точки полупрямой
1
Oy (точки
1
M ) в
другую точку этой же полупрямой (точку
2
M ). Иначе говоря, обходу фазо-
вой траектории вокруг начала координат соответствует точечное преобра-
зование полупрямой
1
Oy в саму себя. Очевидно, что положение точки
2
M
зависит от
1
M , т.е.
)(
1
1
2
1
yfy = , (13.1)
где через
1
1
y ,
2
1
y обозначены абсциссы точек
1
M и
2
M .
Функция
)(
1
1
2
1
yfy = называется функцией последования.
В некоторых случаях эту функцию (13.1) удается получить аналитически из исходного дифференци-
ального уравнения системы.
Если при любом
1
1
y получается, что
1
1
2
1
yy < , то в системе будет затухающий процесс, т.е. фазовая
траектория – спираль, навивающаяся на начало координат; если
1
1
2
1
yy > , то процесс в системе будет рас-
ходящимся.
При
1
1
2
1
yy = на фазовой траектории будет предельный цикл, который соответствует колебательному
режиму в системе. Представим функцию последования )(
1
1
yf графически (рис. 13.4).
y
1
1
y
1
1
y
1
*
1
y
2
1
y
2
1
y
2
1
y
3
y
1
1
1
1
2
f(y ) = y
1
y
2
y
1
1
=
1
Рис. 13.4 Функция последования
На этот график наносится прямая
1
1
2
1
yy = . Анализируя взаиморасположение кривой )(
1
1
yf и прямой
1
1
2
1
yy = , легко видеть, что если при некотором
*
1
y выполняется равенство
*
1
1
1
2
1
yyy == , т.е. )(
1
1
yf пересекает
прямую
1
1
2
1
yy =
, то через точку
*
y
проходит замкнутая фазовая траектория.
Рассматривая взаиморасположение кривой )(
1
1
yf и прямой
1
1
2
1
yy =
можно также ответить на вопрос,
будут ли устойчивы периодические колебания, соответствующие этой замкнутой траектории.
Пусть в начальный момент времени изображающая точка находится в точке
M
на некоторой фазо-
вой траектории. При движении по этой траектории переходим к точке с абсциссой
2
1
y . Далее
2
1
y преоб-
разуется в
3
1
y ,
3
1
y – в
4
1
y и т.д. (рис. 13.4.).
Для других начальных условий: абсцисса точки
1
1
1
yM → , также строится "лестница" движения от
этой точки (рис. 13.4), таким образом получают, что изображающая точка с обеих сторон от "неподвиж-
ной" точки
*
y
1
приближается к ней. Следовательно, в данном случае на фазовой плоскости будет устой-
М
2
M
1
Y
1
y
2
М
1
y
2
Y
1
1
Y
1
2
Рис. 13.3 Отдельная фа-
зовая т
р
аекто
р
ия

Страницы