Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 213 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

На практике уравнение (13.2) обычно решается графически. Для этого на комплексной плоскости с
координатами
)Re(ω
,
()
ωImi вычерчиваются амплитудно-фазовая характеристика линейной части
(
)
ω
л
W
и инверсная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена с обратным знаком
(
)
iAZ
нэ
−
(рис. 13.8). Точка пересечения этих кривых свидетельствует о том, что решение системы (13.2)
существует (рис. 13.8, а), а значит в рассматриваемой системе возможны
A
=
0
A
W (i
ω)
л
iIm(ω)
Re(
ω
)
ω
=
0
M
–
Z (iA)
нэ
а)
∞
A
=
0
A
W (i
ω
)
л
iIm(
ω
)
Re(
ω)
ω
=
0
–
Z (iA)
нэ
б)
∞
∞
ω
∞
Рис. 13.8 Графический метод определения автоколебаний:
а – автоколебания существуют – точка M; б – автоколебания не существуют
колебания, следовательно, в исходной нелинейной системе возможны автоколебания, параметры кото-
рых определяются координатами точ-
ки
M
пересечения годографов
()
ωiW
л
и
(
)
iAZ
нэ
− . Амплитуда автоколебаний определяется по
(
)
iAZ
нэ
−
, а
частота – по
()
ωiW
л
. Если кривые
()
ωiW
л
и
(
)
iAZ
нэ
− не пересекаются (рис. 13.8, б), то в рассматриваемой
:
системе автоколебания отсутствуют.
Графическое решение уравнения (13.2) позволило формально найти периодическое решение, так как
физически возможны лишь устойчивые периодические колебания. В связи с этим возникает еще про-
блема исследования устойчивости найденных автоколебаний. Для исследования устойчивости авто-
колебаний метод гармонического баланса предполагает применение критерия, вытекающего из кри-
терия Найквиста.
Если АФХ линейной части не охватывает инверсную АФХ нелинейного элемента т.е.
)()(
нэл
iAZiW −<ω и, следовательно 1),(
рс
<ω AiW (АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с ко-
ординатами
()
0,1 i− ), то замкнутая система будет устойчивой.
Если АФХ линейной части охватывает инверсную АФХ нелинейного элемента,
)()(
нэл
iAZiW −>ω ,
1),(
рс
>ω AiW (АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами
()
0,1 i− ), то замкнутая сис-
тема будет неустойчивой.
Наличию автоколебаний в нелинейной системе соответствует факт нахождения линеаризованной
системы на границе устойчивости, поэтому для исследования их устойчивости предполагается, что под
действием возмущений линеаризованная система сдвигается с границы устойчивости. Последующее
движение системы оценивается по приведенному выше аналогу критерия Найквиста.
Пусть автоколебаниям в системе соответствует точка
M
(рис. 13.9, а). В результате действия возмущений система сместилась в точку
1
M
, которой соответствует
новое состояние нелинейной системы, характеризующееся возрастанием амплитуды в случае движения
по кривой )(
нэ
iAZ− вправо. Точка
1
M находится вне АФХ линейной части, следовательно, согласно ана-
логу критерия Найквиста система в этом случае будет вести себя как устойчивая, тогда колебания в ней
будут затухать, т.е. амплитуда колебаний будет уменьшаться. Последнее через некоторое время приве-
дет к тому, что амплитуда колебаний станет равной исходной амплитуде автоколебаний
a
A , т.е. система
вернется в состояние, характеризуемое точкой
M
.
Если по какой-либо причине амплитуда в системе уменьшится, новому состоянию системы будет
соответствовать точка
2
M , находящаяся внутри АФХ линейной части. В этом случае, применяя аналог
критерия Найквиста, видно, что здесь система ведет себя как неустойчивая система. Амплитуда колеба-
ний, следовательно, будет возрастать, но не до бесконечности, а до амплитуды автоколебаний
a
A . Та-
ким образом, система опять вернется в состояние, соответствующее режиму автоколебаний – точку
M
.

Страницы