Основы теории автоматического управления - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

СТВИЯ И ПРАВОЙ ЧАСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (3.8), НА УСТОЙЧИ-
ВОСТЬ СИСТЕМЫ НЕ ВЛИЯЕТ.
СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ УРАВНЕ-
НИЯ (3.8). ТАК КАК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ РЕ-
ШЕНИЕ, ТО И СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЕДИНСТВЕННО.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ "УСТОЙЧИВОСТИ" ФОРМУЛИРУ-
ЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. СИСТЕМА ЯВЛЯЕТСЯ УСТОЙЧИВОЙ, ЕСЛИ СВОБОД-
НАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ СТРЕМИТ-
СЯ К НУЛЮ, Т.Е.
y
св
(t) → 0 при t →∞ . (6.2)
При этом выходная координата системы будет стремиться к вынужденной составляющей, опреде-
ляемой внешним воздействием и правой частью уравнения (3.8).
Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е.
y
св
(t) → ∞ при t →∞ , (6.3)
то система неустойчива.
Понятие устойчивости распространяется и на более общий случай − движение системы.
6.2 Устойчивость линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
Как известно, поведение системы после снятия возмущения, т.е. свободное движение, описывается
решением однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
a
n
y
(n)
(t) + a
n–1
y
(n–1)
(t) + ... + a
1
y'(t) + a
0
y(t) = 0 (6.4)
и заданными начальными условиями.
С этим уравнением связан характеристический полином:
D(s) = a
n
s
n
+ a
n–1
s
n–1
+ ... + a
1
s + a
0
. (6.5)
Без ограничения общности предположим, что корни этого полинома различны, тогда решение урав-
нения записывается в виде
.)(
∑
=
n
j
ts
j
j
eCty
(6.6)
Исследуем характер решения. Пусть, например, корень s
1
− действительный, тогда возможны два
случая:
а) s
1
< 0. В этом случае составляющая
ts
eC
1
1
имеет вид кривой, асимптотически приближающейся к оси
абсцисс t → ∞ (рис. 6.4, а).
Действительно, при s
1
< 0 имеет место условие
у
1
=
ts
eC
1
1
→ 0, t → ∞.

Страницы