Основы теории автоматического управления - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, если все корни − действительные отрицательные, то и все слагаемые будут стремиться к
нулю, а, следовательно, и их сумма.
б) Пусть один из корней действителен и положителен, s
1
> 0, тогда абсолютная величина слагае-
мого
ts
eC
1
1
будет безгранично возрастать при t → ∞ (рис. 6.4, б), т.е.
ts
eC
1
1
→ ∞ при t → ∞. В этом слу-
чае у → ∞ даже в том случае, когда все остальные слагаемые решения стремятся к нулю при t → ∞.
s
1
s
1
Im
Re
Im
Re
Im
Re
s
2
s
1
s
2
tecy
ts
1
11
=
t
tecy
ts
1
11
=
t
(
)
ϕ
+
ω
= tcy sin
1
t
s
1
Im
Re
Im
Re
Im
Re
s
1
s
2
tecy
ts
1
11
=
t
tectecy
tsts
21
211
+=
t
cy
=
1
t
y
1
y
1
y
1
y
1
y
1
y
1
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 6.4 Изображение составляющих решения
дифференциального уравнения:
а − корни действительные отрицательные; б − корни действительные положительные; в − корни ком-
плексно-сопряженные с отрицательной действительной частью; г − корни комплексно-сопряженные с
положительной действительной частью; д − корни мнимые; е − нулевой корень
в) Пусть уравнение (6.5) имеет комплексно-сопряженные корни. Здесь также возможны два случая.
Первый случай, если ω±α= is
2,1
, причем α < 0, тогда решение
)sin(
21
211
ϕ+ω=+=
α
tCeeCeCy
t
tStS
представляет собой затухающие колебания с частотой ω (рис. 6.5, в), так как
0→
ατ
e
при
∞
→
t
, и,
следовательно, все выражение также стремится к нулю при возрастании t.
Если комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то
соответствующие члены решения стремятся к нулю при
∞
→
t
.
г) Пусть α > 0. В этом случае решением являются колебания с нарастающей амплитудой (рис. 6.4,
г), так как
∞→
αt
e
при
∞→
t
, следовательно,
∞→ϕ+ω=+=
α
)sin(
21
211
tCeeCeCy
t
tStS
.
д) Допустим теперь, что уравнение (6.5) имеет мнимые корни, т.е. ω±= is
2,1
, тогда решение будет
иметь вид:
=+=
ω−ω ii
eCeCy
211
= C sin(ωt + ϕ), т.е. незатухающие колебания (рис. 6.4, д).
е) Пусть уравнение имеет нулевой корень s
1
= 0, в этом случае
Cy
=
1
, т.е. решение представляет со-
бой константу.
СОСТАВЛЯЮЩУЮ РЕШЕНИЯ Y
СВ
(T) ДАЕТ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПРА-
ВОЙ ЧАСТИ, КОТОРУЮ ЧАСТО НАЗЫВАЮТ ПЕРЕХОДНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ РЕШЕ-
НИЯ. УСТОЙЧИВАЯ СИСТЕМА ХАРАКТЕРИЗУЕТСЯ ТЕМ, ЧТО Y
СВ
(T) → 0 ПРИ T → ∞.
ЕСЛИ ЖЕ ЭТО УСЛОВИЕ НЕ СОБЛЮДАЕТСЯ, ТО СИСТЕМА НЕУСТОЙЧИВА, ЕСЛИ
Y
СВ
(T) = СONST, ТО СИСТЕМА НЕЙТРАЛЬНА, А ЕСЛИ Y
СВ
(T) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ НЕ-
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ, ТО СИСТЕМА НАХОДИТСЯ НА ГРАНИЦЕ УСТОЙЧИВО-

Страницы