Основы теории автоматического управления - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Точка фазового пространства (рис. 6.6), соответствующая состоянию системы в данный момент
времени t, называется изображающей точкой (М).
Изменение состояния системы во времени будет соответствовать движению изображающей точки в
фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией.
КАЖДОМУ ПЕРЕХОДНОМУ ПРОЦЕССУ В СИСТЕМЕ СООТВЕТСТВУЕТ СВОЯ ОПРЕ-
ДЕЛЕННАЯ ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И НАОБОРОТ.
Метод фазового пространства получил наибольшее распространение при исследовании систем вто-
рого порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных
урав-
нений (6.7) для системы второго порядка в общем случае записывается в виде:
=
=
).,(
)(
);,(
)(
212
2
211
1
yyf
dt
tdy
yyf
dt
tdy
(6.8)
Фазовые траектории для систем второго порядка обладают следующими свойствами.
1 В каждой точке фазовой плоскости можно провести единственную касательную к фазовой траек-
тории, т.е. через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна траектория. Исключение со-
ставляет начало координат: y
1
= 0,
y
2
= 0, которое соответствует состоянию равновесия. Уравнение состояния равновесия:
=
=
.0
)(
;0
)(
2
1
dt
tdy
dt
tdy
НАПРАВЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ НЕОПРЕДЕЛЕННО, ПО-
ЭТОМУ НАЧАЛО КООРДИНАТ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ
СИСТЕМЫ, НАЗЫВАЕТСЯ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ.
2 НАПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ТРАЕКТОРИИ ОТМЕЧАЮТ СТРЕЛКАМИ. ДВИЖЕ-
НИЕ ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ ТОЧКИ ПО ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ ПРОИСХОДИТ ПО ЧАСО-
ВОЙ СТРЕЛКЕ ВОКРУГ НАЧАЛА КООРДИНАТ.
3 В точках y
1
= 0, y
2
= 0, т.е. в особых точках, происходит остановка движения.
4 В системах второго порядка фазовые траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом, так
как при y
2
(t) = 0,
∞=
dt
dy
2
, а )()(
1
tyty = достигает своего максимума.
5 В верхних квадрантах координатной плоскости изображающая точка движется всегда слева на-
право, а в нижних
− справа налево, так как при 0
)(
)(
1
2
>=
dt
tdy
ty
переменная y
1
(t) = y(t) возрастает, а при
0
)(
)(
1
2
<=
dt
tdy
ty
переменная y
1
(t) = y(t) убывает.
6 В любой точке фазовой плоскости, где переменная y
2
(t) и функция f
2
(y
1
, y
2
) не равны нулю, фа-
зовая траектория имеет только одно определенное направление, соответствующее производной
1
2
dy
dy
в
данной точке, откуда следует, что фазовые траектории не пересекаются.
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЯЮТ КООРДИНАТЫ
НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ M
0
НА ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ.
СОВОКУПНОСТЬ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ВСЕМ ВОЗМОЖ-
НЫМ В ДАННОЙ СИСТЕМЕ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ, НАЗЫВАЕТСЯ ФАЗОВЫМ ПОРТ-
РЕТОМ СИСТЕМЫ.
6.3.2 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Страницы