Основы теории автоматического управления - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для получения уравнений, описывающих фазовый портрет системы второго порядка, необходимо в
системе дифференциальных уравнений (6.8) второе уравнение поделить на первое и исключить из рас-
смотрения время t, в результате чего получают:
),(
),(
211
212
1
2
yyf
yyf
dy
dy
=
.
РЕШЕНИЕ ЭТОГО УРАВНЕНИЯ ДАЕТ СЕМЕЙСТВО ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ НА ФА-
ЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ, ПО КОТОРЫМ СТРОЯТСЯ ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ СИСТЕМЫ.
ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА КЛАССИФИЦИ-
РУЮТСЯ ПО ТИПАМ ОСОБЫХ ТОЧЕК.
Линейная система второго порядка описывается дифференциальным уравнением вида
,0)(
)()(
01
2
2
2
=++ tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a (6.9)
где y(t) − выходная координата системы; a
0
, a
1
, a
2
− постоянные коэффициенты.
Обозначив y(t) = y
1
(t), а )(
)(
2
1
ty
dt
tdy
=
, тогда
dt
tdy
dt
tyd )()(
2
2
1
2
=
,
и уравнение (6.9) можно записать в виде системы дифференциальных уравнений:
−−=
=
).()(
;
)(
1
2
0
2
2
12
2
1
ty
a
a
ty
a
a
dt
dy
y
dt
tdy
(6.10)
Разделив второе уравнение на первое, получают
,
2
1
2
0
2
1
1
2
y
y
a
a
a
a
dy
dy
−−=
(6.11)
РЕШЕНИЕМ КОТОРОГО БУДЕТ УРАВНЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
y
2
= f (y
1
, с
1
, с
2
), (6.12)
ГДЕ С
I
− ПОСТОЯННЫЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
ВОЗМОЖНЫ ШЕСТЬ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ В ЗАВИСИ-
МОСТИ ОТ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ A
2
S
2
+ A
1
S + A
0
= 0.
Случай 1
Корни
− мнимые при a
1
= 0, a
0
> 0, a
2
> 0: s
1,2
= +iω;
ω
=
2
0
a
a
. СИСТЕМА НАХОДИТСЯ НА ГРАНИЦЕ УСТОЙЧИВОСТИ.
Уравнение системы: a
2
1
y
′′
(t) + a
0
y
1
(t) = 0, его решение имеет вид
y
1
(t) = Asin(ωt + β), (6.13)
откуда
y
2
(t) = y
1
'(t) = Aω cos(ωt + β). (6.14)
График y
1
(t) показан на рис. 6.7.
Для получения уравнения фазовой траектории выражения (6.13) и (6.14) возводят в квадрат и склады-
вают, в результате получают уравнение:
1
)(
2
2
2
2
2
1
=
ω
+
A
y
A
y
. (6.15)

Страницы