Основы теории автоматического управления - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Выражение (6.15) представляет собой уравнение эллипса с полуосями A и A
ω
. Задавая различные А,
получают семейство фазовых траекторий, которые нигде не пересекаются и имеют общий центр в нача-
ле координат (рис. 6.7, в).
Направление движения изображающей точки M в каждой половине фазовой плоскости определяет-
ся по знаку y
2
. При положительной величине y
1
может только увеличиваться, а при отрицательном y
2
−
уменьшаться, следовательно, движение изображающей точки на фазо-
i
ω
α
а)
б)
в)
t
y
1
y
1
y
2
= y
1
‘
A ω
A
M
0
Рис. 6.7 Фазовый портрет типа центр:
а − плоскость корней характеристического уравнения;
б − переходный процесс; в − фазовый портрет
вой плоскости происходит по часовой стрелке, поэтому незатухающим периодическим колебаниям в
системе соответствует на фазовой плоскости замкнутая фазовая траектория.
ОСОБАЯ ТОЧКА СИСТЕМЫ ЯВЛЯЕТСЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЦЕНТРОМ ФАЗОВЫХ
ТРАЕКТОРИЙ И НОСИТ НАЗВАНИЕ ЦЕНТР, А САМА СИСТЕМА НАЗЫВАЕТСЯ КОНСЕР-
ВАТИВНОЙ (Т.Е. СИСТЕМА БЕЗ РАССЕИВАНИЯ ЭНЕРГИИ, БЕЗ ТРЕНИЯ).
Случай 2 Корни
−
комплексные и имеют отрицательные вещественные части при a
1
2
< 4а
0
a
2
; a
1
> 0, а
2
> 0, a
0
> 0:
S
1,2
= −α ± Iω (РИС. 6.8, А), α = −A
1
/2А
2
, ω = (1/2А
2
)
20
2
1
4 aaa −
− СИСТЕМА УСТОЙЧИВА.
Решение уравнения (6.9) имеет вид:
Y
1
(T) = АE
–αT
SIN(ωT + Β). (6.16)
ОТКУДА
y
2
(t) = y'(t) = γАe
–αt
сos(ωt + β + δ), (6.17)
ГДЕ
ω
α
=δ arctg
;
2
0
a
a
=γ
.
Уравнения (6.16) и (6.17) дают в фазовой плоскости параметрическое уравнение спиралей (с пара-
метром t). С каждым оборотом, соответствующим одному периоду колебаний, изображающая точка
приближается к началу координат, так как значения y
1
и y
2
за период колебаний становятся меньше, т.е.
переходный процесс имеет характер затухающих колебаний.
Особая точка называется устойчивым фокусом.
s
1
s
2
α
i
ω
а)
y
1
в)
t
y
1
б)
t
y
2
y
2
= y
1
‘

Страницы