Основы теории автоматического управления - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

РИС. 6.8 ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ТИПА УСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС:
А − РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ;
Б − ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС; В − ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
s
1
s
2
α
i
ω
а)
y
1
в)
t
y
1
б)
t
y
2
y
2
= y
1
'
Рис. 6.9 Фазовый портрет типа неустойчивый фокус:
а
−
расположение корней характеристического уравнения;
б
−
переходный процесс; в
−
фазовый портрет
Случай 3 Корни
−
комплексные и имеют положительные вещественные части при a
2
1
< 4а
0
a
1
;
a
0
> 0, а
1
< 0, a
2
> 0: s
1,2
= α + і
ω
.
Этот случай соответствует расходящимся колебаниям в системе, т.е. система является
неустойчивой. Решение уравнения (6.9):
y
1
(t) = Аe
αt
sin(ωt + β). (6.18)
Откуда
y
2
(t) = y'(t) = γАe
αt
сos(ωt + β + δ). (6.17)
Фазовая точка, двигаясь по фазовой траектории, неограниченно удаляется от начала координат.
Состоянию неустойчивого равновесия системы соответствует особая точка, которая называется не-
устойчивый фокус (рис. 6.9).
Если в результате сколь угодно малого возмущения система выйдет из состояния равновесия, то она
будет неограниченно удаляться от
НЕГО ПО СПИРАЛИ ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ, Т.Е. В СИСТЕМЕ ВОЗНИКАЕТ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС С ВОЗРАСТАЮЩЕЙ АМПЛИТУДОЙ.
СЛУЧАЙ 4 КОРНИ – ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ПРИ A
2
1
> 4А
0
A
2
, A
1
> 0, А
2
>
0, A
0
> 0:
s
1,2
= – α ± β;
2
20
2
1
2
1
2
4
;
2 a
aaa
a
a
−
=β=α
.
ЭТОТ СЛУЧАЙ СООТВЕТСТВУЕТ АПЕРИОДИЧЕСКОМУ ПРОЦЕССУ В СИСТЕМЕ,
САМА СИСТЕМА УСТОЙЧИВА.
Решение уравнения (6.9)
у
1
(t) =
tsts
eCeC
21
21
−−
+
. (6.20)
ОТКУДА
tsts
esCesCty
21
22112
)(
−−
−−=
. (6.21)
Границей области с переходными процессами типа 1 и 2 служат прямые с уравнениями y
2
= –s
2
y
1
и y
2
= –s
1
y
1
, которые получаются из (6.20), (6.21) при s
1
= 0 или s
2
= 0 (обращение одного из корней в
нуль).
ВСЕ ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ ВЛИВАЮТСЯ В НАЧАЛО КООРДИНАТ
− ОСОБУЮ
ТОЧКУ, НАЗЫВАЕМУЮ УСТОЙЧИВЫМ УЗЛОМ (РИС. 6.10). ВРЕМЯ ДВИЖЕНИЯ К СО-
СТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИ РАВНО БЕСКОНЕЧНОСТИ.

Страницы