Основы теории автоматического управления - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

СТИ. ТАКИМ ОБРАЗОМ, СИСТЕМА УСТОЙЧИВА ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ВСЕ
КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ИМЕЮТ ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ ДЕЙСТВИ-
ТЕЛЬНУЮ ЧАСТЬ. ЭТО ПРАВИЛО ПОЛУЧИЛО НАЗВАНИЕ − ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического
уравнения имели отрицательные дейст-вительные части. Геометрическая интерпретация этого признака
показана на рис. 6.5.
Отсюда вытекает следующая формулировка признака устойчивости: для устойчивости системы не-
обходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полу-
плоскости комплексной переменной s. Если хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси, то сис-
тема неустойчива. Если же хоть один корень лежит на мнимой оси, система находится на границе ус-
тойчивости. Мнимая ось iω является границей устойчивости. Если характери-
s
3
i
ω
α
s
1
s
2
s
3
i
ω
α
s
1
s
2
а)
б)
Рис. 6.5 Геометрическая интерпретация признака устойчивости:
а − все корни с отрицательной действительной частью;
б − часть корней имеет положительную действительную часть
стическое уравнение имеет одну пару мнимых корней, а все остальные корни находятся в левой полу-
плоскости, то система находится на колебательной границе устойчивости. Если же уравнение имеет
нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости.
6.3 Изображение движений в фазовом пространстве
6.3.1 ПОНЯТИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
ПРИ РАССМОТРЕНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНО ПОЛЕЗНЫМ
ОКАЗАЛОСЬ ВВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НАГЛЯДНЫХ ПОНЯТИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА. ОСНОВНЫМ ИЗ НИХ ЯВЛЯЕТСЯ ПОНЯТИЕ ФАЗОВО-
ГО ПРОСТРАНСТВА, ВВЕДЕННОЕ АКАДЕМИКОМ АНДРОНОВЫМ.
ФАЗОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ НАЗЫВАЕТСЯ ТАКОЕ ПРОСТРАНСТВО, В КОТОРОМ
ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ КООРДИНАТАМИ ТОЧКИ ЯВЛЯЮТСЯ ВЕЛИЧИНЫ, ОПРЕДЕ-
ЛЯЮЩИЕ МГНОВЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ, НАЗЫВАЕМЫЕ ФАЗОВЫМИ КООР-
ДИНАТАМИ.
МЕТОД ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИМЕНИМ КАК ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ, ТАК И ДЛЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.
Любое дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде системы из n линейных
дифференциальных уравнений первого порядка:
++++=
++++=
++++=
),()(...)()(/)(
...
);()(...)()(/)(
);()(...)()(/)(
21
222221212
112121111
txtyatyatyadttdy
txtyatyatyadttdy
txtyatyatyadttdy
nnnnnnnnn
nn
nn
ОПИСЫВАЮЩЕЙ ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
{}
n
xxxtx ...,,,)(
21
=
.
В КАЧЕСТВЕ ФАЗОВЫХ КООРДИНАТ ВЫБИРАЮТ ВЫХОДНУЮ КООРДИНАТУ СИС-
ТЕМЫ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

Страницы