Основы теории автоматического управления - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6.5.1 ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Вводится понятие ε-окрестности невозмущенного движения. С этой целью рассматривается траек-
тория невозмущенного движения М
0
М и строится криволинейный цилиндр радиусом ε, осью которого
является эта траектория.
Считается, что траектория возмущенного движения мало отклоняется от траектории невозмущен-
ного движения, если она целиком лежит в ε-окрестности невозмущенного движения (ε − мало). Возму-
щенное движение исходит из точки
0
M
′
(рис. 6.15).
УСТОЙЧИВОСТЬ – ЭТО СВОЙСТВО ДВИЖЕНИЯ, ИМЕЮЩЕЕ КАЧЕСТВЕННЫЙ, А НЕ
КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ХАРАКТЕР. ПОЭТОМУ ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ПОНЯТИЯ УСТОЙ-
ЧИВОСТИ ВАЖНА ЛИШЬ ПРИНЦИПИАЛЬНАЯ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОДОБРАТЬ СТОЛЬ
МАЛОЕ η, ЧТОБЫ КРИВАЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕ ВЫШЛА ИЗ ε-ОК-
РЕСТНОСТИ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ ε. ЕСЛИ ТАКАЯ
ВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВУЕТ, ТО ДВИЖЕНИЕ УСТОЙЧИВО, ЕСЛИ ОНА ОТСУТСТВУ-
ЕТ, ТО НЕУСТОЙЧИВО.
Говорят, система обладает орбитальной устойчивостью, если при
любом ε можно подобрать такое отличное от нуля значение η в выра-
жении
η
<
′
−
00 ii
yy
, чтобы траектория возмущенного движения не вы-
шла из ε-окрестности невозмущенного движения, то последнее назы-
вается устойчивым. Если же подобрать такое η нельзя, то невозму-
щенное движение неустойчиво.
ПОНЯТИЕ ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИМЕЕТ
СУЩЕСТВЕННЫЙ, ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ НЕДОСТАТОК, ОГ-
РАНИЧИВАЮЩИЙ ПРЕДЕЛЫ ЕГО ПРИМЕНИМОСТИ. ПРИ
ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕ-
НИЕ МОЖЕТ ЗНАЧИТЕЛЬНО ОТЛИЧАТЬСЯ ОТ НЕВОЗМУЩЕННОГО.
Если даже траектории и близки, но точки М и М' движутся с разными скоростями, то с течением
времени расстояние между ними может оказаться большим (рис. 6.16), т.е. если y
i
− координаты точки
М, а My
i
′
−
′
, то при наличии орбитальной устойчивости может оказаться, что величины )(
ii
yy
′
−
станут
большими. В связи с этим вводится понятие устойчивости по Ляпунову.
6.5.2 УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
Движение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 можно указать число η =
η(ε) > 0 такое, что из неравенства )(
00
εη<
′
− yy при t = t
0
следует неравенство ε<
′
− yy для всех t > t
0
.
Смысл понятия устойчивости по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, если при доста-
точно малом начальном сдвиге М'
0
от М
0
точка М' в последующем движении достаточно близка к М
(рис. 6.16). Если же подобрать такое
η(ε) нельзя, то движение неустойчиво.
6.5.3 АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Под устойчивостью очень часто понимают свойство тела возвращаться в состояние равновесия, из
которого оно предварительно было выведено, например, маятник после затухающих колебаний вер-
нется к положению равновесия (рис. 6.17). Подобное определение можно ввести и для невозмущен-
ного движения.
y
1
y
2
y
3
0
M'
M
0
ε
M
M'
0
Рис. 6.15 К понятию
"Об
й

Страницы