Основы теории автоматического управления - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

M
y
1
y
2
y
3
0 M'
M
M
0
M
0
M'
0
Рис. 6.17 К определению асимптотической устойчивости
Если при движении в пространстве точки М и
M
′
неограниченно сближаются и разности их коор-
динат )(
ii
yy
′
−
→ 0, то возмущенное движение постепенно возвращается к невозмущенному. Такое дви-
жение называется асимптотически устойчивым.
Движение называется асимптотически устойчивым, если можно подобрать такое η, что, если
η<
′
−
00
yy
, то выполняется условие
0→
′
− yy
при t → ∞.
Понятие асимптотической устойчивости более узко, чем понятие устойчивости по Ляпунову. Если
движение асимптотически устойчиво, то оно наверняка устойчиво по Ляпунову. Но обратное утвержде-
ние, вообще говоря, несправедливо. Движение может быть устойчивым по Ляпунову, но не являться
асимптотически устойчивым.
6.6 Необходимое условие устойчивости
В п. 6.2 получено необходимое и достаточное условие устойчивости – отрицательность действи-
тельных частей корней характеристического уравнения или, что идентично, эти корни должны распо-
лагаться слева от мнимой оси.
В этих формулировках изложен не только признак устойчивости, но и дан, в сущности, метод ис-
следования устойчивости: необходимо найти корни характеристического уравнения и проверить, лежат
ли они в левой полуплоскости или нет. Однако такой метод совершенно неадекватен задаче исследова-
ния в силу следующих причин.
1 Задача определения корней характеристического уравнения просто решается только для уравне-
ний первого и второго порядка; для всех других случаев приходится пользоваться различными при-
ближенными, сравнительно громоздкими методами.
2 Для определения устойчивости необходимо знать только знаки корней, поэтому определение
корней представляет ненужную трудоемкую работу. Между тем не получают общих формул, по кото-
рым можно было бы судить о влиянии коэффициентов уравнений на устойчивость системы, но именно
это влияние, в первую очередь, и интересует проектировщика системы автоматического регулирования.
Задача исследования часто ставится таким образом, что необходимо определить коэффициенты
уравнений, при которых система была бы устойчива.
В распоряжении исследователя имеются методы, позволяющие судить об устойчивости системы по
так называемым условиям устойчивости, не решая характеристического уравнения и не находя его
корней. Первым таким условием, которое следует рассмотреть, является необходимое условие устойчи-
вости.
Пусть характеристическое уравнение n-й степени имеет корни s
1
, s
2
, ..., s
n
. Тогда это уравнение
можно записать следующим образом
a
n
(s – s
1
) (s – s
2
) ... (s – s
n
) = 0. (6.26)
Если система устойчива, то корни должны быть либо действительными отрицательными, либо ком-
плексно-сопряженными с отрицательной действительной частью.
Пусть s
1
= –α, α > 0, тогда s – s
1
= s + α > 0.
Пусть s
2,3
= –α ± i ω, α > 0, тогда
(s – s
2
) (s – s
3
) = (s + α – i ω) (s + α + i ω) = (s + α)
2
+ ω
2
> 0.

Страницы