Основы теории автоматического управления - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Отсюда следует, что после раскрытия скобок все коэффициенты уравнения будут положительны.
Из этих рассуждений следует, что, когда хоть один из коэффициентов характеристического уравнения
отрицателен, то система неустойчива.
Если все коэффициенты характеристического полинома a
i
> 0, то любое действительное положи-
тельное значение s, подставленное в уравнение, не может обратить его в нуль и, следовательно, не явля-
ется корнем характеристического уравнения. Поэтому при a
i
> 0 невозможно появление нарастающих
экспонент, характеризующих апериодическую неустойчивость, т.е. апериодическая неустойчивость не-
возможна. Однако может возникнуть колебательная неустойчивость, т.е. появление в решении состав-
ляющих в виде колебаний с нарастающей амплитудой. Это возникает, когда существуют комплексно-
сопряженные корни с положительной действительной частью. Поэтому условие положительности коэф-
фициентов при порядке системы больше двух является необходимым условием, но не достаточным, а для
уравнений первого и второго порядка это условие является и достаточным.
Действительно:
a
2
s
2
+ a
1
s + a
0
= 0; s
1,2
=
2
20
2
11
2
4
a
aaaa −±−
.
Если корни комплексно-сопряженные, то а
1
2
– 4 а
0
а
2
< 0, а
1
> 0; а
2
> 0. Следовательно, и а
0
> 0, так
как а
1
2
< 4 а
0
а
2
.
6.7 Алгебраические критерии устойчивости
Критерий устойчивости Рауса и Гурвица позволяет по коэффициентам характеристического урав-
нения без вычисления его корней сделать суждение об устойчивости системы.
Словацкий ученый А. Стодола, преподававший в Швейцарии, поставил перед швейцарским мате-
матиком Гурвицем задачу нахождения условий устойчивости для линейной системы любого порядка.
Такую же задачу поставил Максвелл в своем докладе, на котором присутствовал английский математик
Раус. В результате, независимо друг от друга и в различных формах, Раус и Гурвиц вывели неравенства,
соблюдение которых является необходимым и достаточным условием устойчивости систем любого по-
рядка.
6.7.1 КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА
Критерий, который предложил Раус, наиболее просто поясняется табл. 6.1, где
D(s) = а
0
s
n
+ а
1
s
n–1
+ ... + а
n–1
s + а
n
– (6.27)
характеристический полином.
Таблица 6.1
Столбец Коэффи-
циент r
i
Стро
ка
1 2 3 4
– 1 a
0
= c
11
a
2
= c
21
a
4
= c
31
…
– 2 a
1
= c
12
a
3
= c
22
a
5
= c
32
…
r
3
= a
0
/a
1
3 c
13
= a
2
–
r
3
a
3
c
23
= c
31
–
r
3
c
32
c
33
= c
41
–
r
3
c
42
…
r
4
= a
1
/c
13
4 c
14
= c
22
–
r
4
c
23
…
r
5
= c
13
/c
14
5 …
… … … … … …
r
i
= c
1,i–
2
/c
1,i–1
i
c
1,i
= c
2,i–2
–
– r
i
c
2,i–1
c
2,i
= c
3,i–2
–
– r
i
c
3,i–1
…

Страницы