Основы теории автоматического управления - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В первой строке записываются в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристическо-
го уравнения, имеющие четный индекс, во второй − нечетный индекс.
Любой другой коэффициент таблицы определяется как
c
k,i
= c
k+1,i–2
– r
i
c
k+1, i–1
,
(6.28)
где r
i
= c
1,i–2
/c
1,i–1
; k – номер столбца; i – номер строки.
Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического полинома плюс единица – (n + 1).
После заполнения таблицы можно сделать следующее суждение об устойчивости системы согласно
условию устойчивости Рауса.
Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно,
чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при a
0
> 0 были
положительными числа:
с
11
= a
0
> 0; c
12
= a
1
> 0; c
13
> 0; ...; c
1,n + 1
> 0. (6.29)
Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число пра-
вых корней равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.
Этот критерий очень удобен, когда заданы численные значения коэффициентов характеристиче-
ского уравнения, очень легок для программирования на ЭВМ и нашел широкое применение при иссле-
довании влияния на устойчивость коэффициентов уравнения либо отдельных параметров системы.
6.7.2 КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА
Гурвиц разработал алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемый из
коэффициентов характеристического уравнения системы.
Из коэффициентов характеристического уравнения (6.27) строят сначала главный определитель Гур-
вица (6.30)
n
n
a
aaa
aaa
aaaa
aaaa
.0000
......
0.0
0.0
0.
0.
420
531
6420
7531
=∆
по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффици-
енты характеристического уравнения от a
1
до a
n
в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от
главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно воз-
растающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами.
На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули.
Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получим определители Гурви-
ца низшего порядка.
11
a=∆ ;
20
31
2
aa
aa
=∆ ;
31
420
531
3
0 aa
aaa
aaa
=∆
; … (6.31)
Номер определителя определяется номером коэффициента по диагонали. Сам критерий формули-
руется следующим образом.
Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно,
чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характери-
стического уравнения a
0
, т.е. при a
0
> 0:
∆
1
> 0; ∆
2
> 0; ∆
3
> 0; ...; ∆
n
> 0. (6.32)
(6.30)

Страницы