Основы теории автоматического управления - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если раскрыть определитель Гурвица для уравнений первого, второго и третьего порядка, то полу-
чатся следующие условия устойчивости:
1) n = 1; a
0
s + a
1
= 0; условия устойчивости: a
0
> 0; a
1
> 0.
2) n = 2; a
0
s
2
+ a
1
s + a
0
= 0; условия устойчивости: a
0
> 0; a
1
> 0; a
2
> 0.
3) n = 3; a
0
s
3
+ a
1
s
2
+ a
2
s + a
3
= 0; условия устойчивости: a
0
> 0; a
1
> 0; a
2
> 0; a
3
> 0; a
1
a
2
– a
0
a
3
> 0.
Критерий Гурвица обычно применяют при n < 4.
Так как ∆
n
= a
n
∆
n–1
, то при a
n
> 0 для проверки устойчивости необходимо проверить определители
от ∆
1
до ∆
n–1
.
Если a
n
= 0 или ∆
n–1
= 0 при ∆
1
> 0, ..., то система находится на границе устойчивости, причем при a
n
= 0 − граница апериодической устойчивости (один из корней равен нулю); при a
n–1
= 0 − граница колеба-
тельной устойчивости (имеются два комплексно-сопряженных корня).
По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система на-
ходится на границе устойчивости.
6.7.3 КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЬЕНАРА-ШИПАРО
При исследовании устойчивости систем автоматического регулирования, имеющих порядок харак-
теристического уравнения n ≥ 5, рекомендуется использовать одну из модификаций критерия Гурвица,
предложенную в 1914 г. П. Льенаром и Р. Шипаром и вошедшую в теорию автоматического управления
как критерий устойчивости Льенара-Шипаро, который формулируется следующим образом.
Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось необходимое условие устойчивости и чтобы определители Гурвица с четными ин-
дексами (или с нечетными индексами) были положительны, т.е.
a
0
> 0, a
1
> 0, ..., a
n
> 0; ∆
2
> 0, ∆
4
> 0, ∆
6
> 0, ... (6.33)
или
a
0
> 0, a
1
> 0, ..., a
n
> 0; ∆
1
> 0, ∆
3
> 0, ∆
5
> 0, ...
(6.33, а)
В такой формулировке критерия устойчивости требуется раскрытие меньшего числа определителей,
чем по критерию Гурвица.
Пример 6.1 Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса систему, если характеристиче-
ское уравнение имеет вид
D(s) = 3s
4
+ 5s
3
+ 2s
2
+ 7s + 10 = 0.
Из коэффициентов уравнения составляется таблица Рауса.
Таблица Рауса к примеру 6.1
столбец k
r
i
строка k
1 2 3
– 1 a
0
= 3 a
2
= 2 a
4
= 10
– 2 a
1
= 5 a
3
= 7 a
5
= 0
r
3
= 0,6 3 a
13
= 10 a
23
= 10 0
r
4
= – 2,27 4 a
14
=
15,7
a
24
= 0 0
r
5
= 0,14 5 a
15
= 10 a
25
= 0 0
Система не устойчива, так как знаки коэффициентов первого столбца различны: а
0
> 0, a
1
> 0, с
13
<
0, с
14
> 0, с
15
> 0.
Пример 6.2 Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица, если характеристическое
уравнение имеет вид:

Страницы