Основы теории автоматического управления - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

s
3
+ А s
2
+ В s + 1 = 0, (6.38)
где А и В – параметры системы.
Для устойчивости системы, исходя из критерия Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы А В > 1,
откуда граница области устойчивости будет А В = 1.
В плоскости параметров A и В граница области устойчивости представляет собой гиперболу, назы-
ваемую гиперболой Вышнеградского (рис. 6.20). Область устойчивой работы отмечена штриховкой.
Границы области устойчивости могут быть найдены, если
приравнять нулю коэффициенты а
0
, а
n
характеристического
уравнения и предпоследний определитель Гурвица:
а
0
= 0; а
n
= 0; ∆
n–1
= 0. (6.39)
Вторая из этих границ соответствует наличию нулевого кор-
ня характеристического уравнения, а третья − наличию чисто
мнимых корней. Уравнения (6.39) разбивают пространство пара-
метров на ряд областей, из которых устойчивой будет та область,
где определители Гурвица
∆
1
, ..., ∆
n–2
положительны.
6.8 Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического
управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии позволяют исследовать устойчивость сис-
тем высокого порядка и имеют простую геометрическую интерпретацию.
6.8.1 ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие известного из теории функции ком-
плексного переменного принципа аргумента. Пусть дан полином n-й степени (6.27):
D(s) = a
0
s
n
+ a
n-1
s
n–1
+ ... +a
n
.
Этот полином в соответствии с теоремой Безу можно представить в виде
D(s) = a
0
(s – s
1
) (s – s
2
) ... (s – s
n
), (6.40)
где s
j
= α
j
+ iω
j
– корни уравнения D(s) = 0; j = 1, 2, ..., n.
Каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала коорди-
нат к точке s
j
(рис. 6.21, а). Длина его равна модулю комплексного числа, а угол, образованный векто-
ром с положительным направлением действительной оси, – аргументу или фазе комплексного числа.
Величины (s – s
j
) геометрически изображаются вектором, проведенным из точки s
j
к произвольной
точке s (рис. 6.21, б).
При s = iω, например, получают:
D(iω) = a
0
(iω – s
1
) (iω – s
2
) ... (iω – s
n
), (6.41)
и концы всех векторов будут находиться на мнимой оси (рис. 6.21, в).
Рассматривая вектор D(iω), получают, что модуль его равен
n
sisisiaiD −ω−
ω
−
ω
=
ω
...)(
210
, (6.42)
а аргумент
B
A
1
1
Рис. 6.20 Гипербола
Вышнеградского

Страницы