Основы теории автоматического управления - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где
...)(
4
4
2
2
+ω+ω−=ω
−− nnn
aaaU
;
...)()(
4
5
2
31
−ω+ω−ω=ω
−−− nnn
aaaV
,
называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова; D(ω) – модуль D(iω); ϕ(ω) –
фаза D(iω).
При изменении частоты конец вектора D(iω) будет описывать некоторую кривую в комплексной
плоскости, которая называется годографом Михайлова.
При изменении частоты от 0 до ∞ угол поворота вектора D вокруг начала координат равен (6.45):
,)2(
2
)(Arg
0
mniD −
π
=ω∆
∞=ω
=ω
отсюда число правых корней полинома
,
2
)(Arg
2
0
∞=ω
=ω
ω∆−
π
=
iDn
m
(6.47)
т.е. m = 0, если
2
)(Arg
0
π
=ω∆
∞=ω
=ω
niD
. (6.48)
Последнее является необходимым условием устойчивости, но недостаточным. Для того, чтобы полу-
чить необходимое и достаточное условие устойчивости, необходимо исключить корни, лежащие на
мнимой оси, т.е. должно выполняться условие:
D(i ω) ≠ 0. (6.49)
Формулы (6.48 – 6.49) представляют собой математическое выражение критерия устойчивости Ми-
хайлова. Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточ-
но, чтобы годограф Михайлова D(iω) при изменении ω от 0 до ∞ повернулся, не проходя через нуль, во-
круг начала координат против часовой стрелки на угол
2
n
π , где n – порядок характеристического урав-
нения.
Для устойчивых систем годограф Михайлова начинается при
ω = 0 на вещественной полуоси, т.е.
D(0) = a
n
; кроме того с ростом частоты фаза должна монотонно возрастать, т.е. вектор должен поворачи-
ваться только против часовой стрелки, так как возрастают фазы элементарных векторов (i
ω – s
j
), являю-
щиеся слагаемыми фазы вектора D(i
ω).
В связи с этим критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом:
Из полинома в знаменателе передаточной функции АСР (характеристического полинома) образу-
ется функция Михайлова. Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, не-
обходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞, начинаясь
при ω = 0 на вещественной положительной полуоси, обходил только против часовой стрелки последо-
вательно n квадрантов координатной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения.
Годограф Михайлова для устойчивых систем имеет плавную спиралевидную форму и уходит в бес-
конечность в том квадранте, номер которого равен степени характеристического уравнения (рис.
6.22).

Страницы