Основы теории автоматического управления - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

а – плоскость корней характеристического уравнения;
б – пространство параметров
и соответствующее ему пространство коэффициентов а
1
, а
2
, а
3
(рис. 6.41).
Каждой точке пространства соответствует вполне определенный полином и вполне определенные
три корня.
Например, точка М имеет координаты {а
1М
, а
2М
, а
3М
}, и следовательно, характеристический поли-
ном записывается в виде
D(s) = s
3
+ а
1М
s
2
+ а
2М
s
2
+ а
3М
и имеет корни S
1М
, S
2М
, S
3М
.
Когда один из корней равен 0 или +iω, тогда точка пространства будет удовлетворять уравнению
D(iω) = (iω)
3
+ а
1
(iω)
2
+ а
2
(iω) + а
3
= 0.
При –∞ < ω < ∞ этому уравнению соответствует некоторая поверхность Q.
Если корни мнимые, то точка в пространстве коэффициентов попадает на эту поверхность Q. При
пересечении ее корни переходят из одной полуплоскости в другую.
Таким образом, поверхность Q разделяет все пространство на области с равным количеством пра-
вых и левых корней, их обозначают D(m), где m – число правых корней характеристического уравнения.
Разбиение пространства параметров на области с одинаковым числом правых корней внутри каждой об-
ласти и выделение среди полученных областей области устойчивости называется методом Д-
разбиения.
Для уравнения третьего порядка можно выделить 4 области D(3), D(2), D(1), D(0), последняя будет
областью устойчивости.
Если изменяются не все коэффициенты, а часть из них, например, а
1
и а
2
, при а
3
= сonst, то вместо
поверхности получим линию, которая является сечением поверхности Q и разделяет плоскость коэф-
фициентов а
1
, а
2
на области с одинаковым числом правых корней (рис. 6.42).
a
2
a
1
D(0)
D(1)
D(1)
D(2)
a
3
= const
Рис. 6.42 Граница Д-разбиения в плоскости коэффициентов
Уравнение границы Д-разбиения получают из характеристического уравнения системы заменой s
= iω.
D(iω) = (iω)
n
+ a
1
(iω)
n–1
+ … + a
n
= 0. (6.59)
Границу Д-разбиения можно строить не только в пространстве коэффициентов дифференциального
уравнения, но и в пространстве параметров системы.

Страницы