Основы теории автоматического управления - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

y(iω) = W(iω) X(iω). (8.12, б)
Используя обратное преобразование Фурье и последние соотношения, переходный процесс (пере-
ходная характеристика) определяется следующим образом:
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== ω) ω() ω(
2π
1
ω) ω(
2π
1
)(
tω t ω
deiXiWdeiyty
ii
. (8.13)
При воздействии на вход единичной ступенчатой функцией x(t) = 1(t), изображение которой
x(iω) = 1/(iω), соотношение (8.13) для переходной функции запишется как
ω
ω
1
)ω(
π2
1
)()(
ω
de
i
iWtyth
ti
∫
∞
∞−
==
.
Представляя АФХ через действительную и мнимую часть W(i
ω
) = Re(
ω
) + iIm(
ω
) и разла-
гая e
i
ω
t
по формуле Эйлера, выражение для переходной функции преобразуется к более удобному
виду с использованием ВЧХ – Re(
ω
):
ω
ω
sinω
) Re(ω
π
2
)(
0
d
t
th
∫
∞
=
. (8.14)
ИЛИ МЧХ – IM(ω):
Re(0)ω
ω
cosω
) Im(ω
π
2
)(
0
+=
∫
∞
d
t
th
. (8.15)
На практике используется формула (8.14), в которой ВЧХ представляет собой сложную функцию
и интегрирование возможно только приближенно: численными методами с применением ЭВМ либо
путем предварительной аппроксимации сложной характеристики Re(ω) кусочно-линейными функ-
циями суммой трапеций или суммой треугольников, что позволяет получить достаточно удобные
выражения.
Если на систему действует произвольное возмущение, то переходный процесс определяется по
обобщенным вещественной и мнимой характеристикам:
Re
об
(ω) = Re[W(iω) X (iω)], Im
об
(ω) = Im[W(iω) X (iω)] , (8.16)
при этом необходимо, чтобы полюсы функции W(s) X(s) располагались слева от мнимой оси.
8.2.2 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И
СООТВЕТСТВУЮЩИХ ИМ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Основные свойства ВЧХ и переходных процессов следуют из (8.14).
1 Свойство линейности: если ВЧХ можно представить суммой
∑
=
ω=ω
n
j
j
1
)(Re)Re( (8.17, а)
И КАЖДОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СООТВЕТСТВУЕТ ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС
ωω
ω
=
∫
∞
dtty
i
i
) sin(
ω
) (Re
π
2
)(
0
, (8.17, б)
то и переходный процесс у(t) может быть представлен суммой составляющих
∑
=
=
n
j
j
tyty
1
)()( . (8.17, в)
2 Соответствие масштабов по оси ординат для Rе(ω) и у(t).
Если умножить Rе(ω) на постоянный множитель α, то соответствующее значение у(t) тоже умножа-
ется на этот множитель
α (рис. 8.8).
3 Соответствие масштабов по оси абсцисс для Rе(
ω) и у(t).

Страницы