Основы теории автоматического управления - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

в реакто-
ре
входном по-
токе
из реак-
тора
реакцию
AAA
A
VKCCCq
d
t
dC
V −−= )(
0
, (3.5)
где V – объем реактора; С
A
– концентрация вещества A; t – время; q – объемный расход реагента А;
0
A
C
–
входная концентрация вещества; А, K – константа скорости реакции.
Таким образом, описание химического реактора идеального перемешивания, в котором протекает
реакция типа А → В, осуществляется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.
Как видно из этих трех примеров, динамические свойства различных по физической природе объек-
тов обладают некоторыми общими чертами, благодаря чему все рассмотренные объекты описывают-
ся однотипными уравнениями – обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка.
3.3 Определение линейной стационарной системы.
Принцип суперпозиции
В теории управления к линейным системам обычно относят те системы, в которых протекающие
процессы являются стационарными и описываются линейными дифференциальными уравнениями с по-
стоянными или функционально зависящими от времени коэффициентами. Важным свойством таких
систем является их соответствие принципу суперпозиции. В связи с этим определение линейной систе-
мы, как правило, дается в следующем варианте: линейными называются системы, подчиняющиеся
принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов
∑
)(tx
i
равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности для любых x
i
(t).
Математическая запись принципа суперпозиции состоит из двух соотношений:
∑∑
=
i
i
i
i
tytxy )()( ; (3.6)
))(())(( txcytcxy
=
. (3.7)
Важно отметить, что линейность статических характеристик является необходимым, но не доста-
точным условием линейности, так как выполнение принципа суперпозиции необходимо не только в
статике, но и в динамике. В то же время статическая характеристика, описываемая уравнением пря-
мой у = а х + b , не отвечает принципу суперпозиции. Покажем это на примере функции у = 2 х + 3.
Для этого проведем эксперимент, который можно проиллюстрировать постановкой не менее трех
опытов.
1 опыт: на вход объекта подадим сигнал х
1
= 2 и определим выходную координату под действием
этого сигнала y
1
= 7 (рис. 3.5, а).
2 опыт: на вход объекта подадим другой сигнал x
2
= 3, и определим соответствующее ему изменение
выходной координаты y
2
= 9 (рис. 3.5, б).
3 опыт: на вход объекта подается сигнал, равный сумме в первых двух опытах, x
3
= 5 и определяется
выходной сигнал y
3
= 13 (рис. 3.5, в).
Вследствие того, что y
3
≠ y
1
+ y
2
(13 ≠ 16), можно утверждать, что для данной функции принцип су-
перпозиции не выполняется. Для устранения данного типа нелинейности следует перенести начало коор-
динат таким образом, чтобы нулевому входу соответствовал нулевой выход.
Так как большинство объектов управления являются нелинейными, то при определенных условиях
нелинейные характеристики могут быть приближенно заменены линейными характеристиками, т.е.
производится линеаризация нелинейных зависимостей.
x
3
(t) = x
1
(t) + x
2
(t)
Объект
y
1
(t)
x
1
(t)
Объект
y
2
(t)
x
2
(t)
Объект
y
3
(t)
3 опыт
а) б)
в)
1 опыт 2 опыт

Страницы