Основы теории автоматического управления - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

При решении подобных уравнений дельта-функцию переводят
в начальные условия, и если n = 2, то ;0)()()(
012
=
+
′
+
′′
tyatyatya
.)0(;0)0(
2
a
b
yy =
′
=
3.7 Интеграл Дюамеля
Интеграл Дюамеля используется для определения выхода объекта у(t) при произвольном входном
сигнале x(t) и известных h(t) либо w(t).
Предполагается, что на вход объекта, описываемого весовой функцией w(t), подается сигнал x(t)
(рис. 3.12, а), подробное описание которого дано в п. 2.8.
Если реакцию объекта на δ(t – t
i
) обозначить через w(t – t
i
) (весовая функция), а реакцию на )(
~
i
tt −δ
через )(
~
i
ttw − (приближенная весовая функция), то на основании принципа суперпозиции можно запи-
сать выходной сигнал на импульс )(
~
tx :
).()(
~
)(
~
iiii
txtttwty
∆
−
=
t
i
t
x
∆
t
i
t
y
~
Σ
y
i
а)
б)
0
0
Рис. 3.12 Представление входного (а) и выходного сигналов (б)
Замена входного сигнала x(t) набором импульсов, высота которых совпадает с соответствующими
координатами (рис. 3.12), позволяет записать реакцию на ступенчатую функцию )(
~
tx на основании
принципа суперпозиции
.)()(
~
)(
~
)(
~
00
∑∑
==
∆−==
n
i
iii
n
i
i
txtttwtyty
Если теперь устремить
∆t
i
→ 0, при этом t
i
→ τ; n → ∞; ),()(
~
);()(
~
τ−→−τ−δ→−δ twttwttt
ii
а ∆t
i
→
d
τ, где τ – непрерывный параметр, показывающий сдвиг каждого импульса, то окончательно получаем:
∫
∞
τττ−=
0
.)()()( dxtwty (3.13)
Последнее уравнение называется интегралом Дюамеля (уравнением свертки), отражающим связь
между входом, выходом объекта и его весовой функцией.
По сути дела весовая функция является памятью объекта, которая показывает, как долго и как силь-
но влияет на объект импульсное возмущение, поданное на его вход в момент времени
τ = 0.
Из физического смысла весовой функции верхний предел интегрирования может быть заменен на t,
так как невозможно представить реальную систему, в которой на выходную координату в настоящий
момент времени оказывают влияние возмущения, которые появляются в последующие моменты време-
ни.
Если произвести замену в формуле (3.13)
ξ
=
=
t ,
ξ
=
dd , то можно записать симметричную форму-
лу
∫
∞
ξξξ−=
0
.)()()( dwtxty
(3.14)

Страницы