Основы теории автоматического управления - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если для представления входного сигнала использовать не формулу (2.26), а (2.27), то интеграл
Дюамеля записывается через переходную функцию:
τ
τ
τ
τ−+=
∫
d
d
dx
ththxty
t
0
)(
)()()0()(
, (3.15)
или
.)(
)(
)()0()(
0
∫
ττ
τ
τ−
+=
t
dh
d
tdx
thxty
3.8 Преобразование Лапласа
Основным математическим аппаратом, который используется в теории автоматического управления,
является специальный метод прикладного анализа, так называемый операционный метод, в основе
которого лежит функциональное преобразование Лапласа.
3.8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s)
другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением
∫
∞
−
==
0
)()()}({ dtetxsxtxL
st
, (3.16)
где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная
s = α + iω.
Формула (3.16) определяет прямое преобразование Лапласа. Возможно и так называемое обратное
преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал. Оно определяется соотношени-
ем
∫
ω+
ω−
−
π
==
ic
ic
st
dsesx
i
txsxL )(
2
1
)()}({
1
, (3.17)
где с – абсцисса сходимости функции x(s).
Для большинства функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между
оригиналами и изображениями. Изображения некоторых наиболее часто встречающихся функций в
теории управления приведены в табл. 3.1. Если же функция отсутствует в таблице, то ее изображение
можно получить непосредственно, пользуясь соотношением (3.16).
Пример 3.1 Требуется найти преобразование Лапласа от функции x(t) = е
–at
.
Согласно определению преобразования Лапласа (3.16) имеем
as
e
as
dtedteesx
astasstat
+
=
+
−===
∫∫
∞∞
∞
+−+−−−
11
)(
00
0
)()(
.
Таким образом,
a
s
e
at
+
→
−
1
.

Страницы