Основы теории автоматического управления - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)(lim)(lim
0
ssxtx
st →∞→
=
; (3.32)
)(lim)(lim
0
ssxtx
st ∞→→
= . (3.33)
3.8.3 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Одним из важнейших применений операционного исчисления – преобразования Лапласа – является
решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которыми как раз и
описываются рассматриваемые системы автоматического управления.
Решение дифференциального уравнения в этом случае складывается из следующих этапов:
1) преобразование уравнения по Лапласу;
2) отыскание решения в области комплексного переменного s;
3) переход в область действительного переменного путем обратного преобразования Лапласа.
Пример 3.2
)(1)()()(
0012
tbtyatyatya
=
+
′
+
′
′
;
у(0) = у' (0) = 0.
Преобразуем данное уравнение по Лапласу:
sbsyassyasysa /1)()()(
001
2
2
⋅=++ ,
откуда
)(
)(
01
2
2
0
asasas
b
sy
++
=
.
Пусть полином 0
01
2
2
=++ asasa имеет корни s
1
и s
2
, тогда, как будет показано ниже, можно записать
2
2
1
10
)(
ss
C
ss
C
s
C
sy
−
+
−
+= ,
где C
0
, C
1
, C
2
– некоторые коэффициенты, определяемые методом неопределенных коэффициентов:
21
0
0
ss
b
C =
;
)(
211
0
1
sss
b
C
−
=
;
)(
122
0
2
sss
b
C
−
=
.
Пользуясь таблицами обратного преобразования Лапласа, находим
tsts
eCeCCty
21
210
)( ++= .
Полученное выражение y(t) является решением линейного обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка при входном сигнале x(t) = 1(t), т.е. ничем иным, как переходной функцией
для линейного объекта второго порядка.
3.8.4 РАЗБИЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
Как видно из примера 3.2, решение дифференциального уравнения, полученное с использованием
преобразования Лапласа, представляет собой рациональную дробь. Для облегчения обратного преобра-
зования полученную дробь необходимо разложить на простейшие дроби, пользуясь следующим прави-
лом.
Дробь
)(
)(
)(
1
s
s
sM
n
n
ϕ
ϕ
=
−
(3.34)
называется правильной рациональной дробью, если порядок числителя меньше, чем порядок знамена-
теля. Для разложения дроби (3.34) необходимо найти корни уравнения 0)( =
ϕ
s
n
.
Если корень действительный, то ему соответствует дробь вида
1
ss
A
−
.

Страницы