Теория автоматического управления. Лазарева Т.Я - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

tIIIII
eyy
2−
=− ;
0)0(;0)0(;0)0( ===
III
yyy .
При решении уравнения с использованием преобразования Лапласа необходимо его преобразовать по Ла-
пласу с учетом начальных условий:
)2(
1
)()(
23
+
=−
s
ssyssy .
Из последнего выражения определяется )(sy , которое и является решением уравнения, но оно записано в
терминах преобразования Лапласа. Для получения решения уравнения во временной области полученная дробь
разлагается на простейшие дроби, от которых в последствии по таблицам необходимо взять обратное преобра-
зование Лапласа. В результате разложения получаем следующее выражение:
=
−
+++
+
=
−+
=
12)1()2(
1
)(
22
s
D
s
C
s
B
s
A
sss
sy
)1()2(
)2()1)(2()1()2()1(
2
22
−+
++−++−++−
=
sss
ssDssCsssBssA
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s в числителе, записываем систему алгебраических
уравнений для определения неизвестных коэффициентов
=−
=+−
=+++−
=++
.12
;02
;02
;0
C
CB
DCBA
DBA
Решение системы:
2
1
−=C
;
4
1
−=B
;
12
1
−=A
;
3
1
=D
.
Таким образом, дробь разложена на следующие простейшие дроби:
)1(3
1
2
1
4
1
)2(12
1
)(
2
−
+−−
+
−=
ssss
sy
.
Взяв обратное преобразование Лапласа от последнего выражения, получим
.
3
1
2
1
4
1
12
1
)(
2 tt
etety +−−−=
−
Функция )(ty является решением дифференциального уравнения.
Задача 3. По известной кривой разгона и весовой функции линейного элемента найти:
1. реакцию на входной сигнал )(tx ;
2.
весовую функцию или кривую разгона соответственно;
3.
передаточную функцию элемента.
Задано: кривая разгона –
tth 2)( = ; весовая функция –
t
tet
−
−=ω 1)( ; входной сигнал – tetx
t
sin1)(
−
−= .
1)
Реакция элемента на входной сигнал определяется по интегралу Дюамеля, который может быть записан
через кривую разгона или через весовую функцию.
Если известна кривая разгона, то интеграл Дюамеля записывается следующим образом:
∫
ττ−+=
t
d
dt
dx
ththxty
0
)()()0()( ,
следовательно,
()
=ττ−ττ−+=
∫
τ−τ−
t
deettty
0
))cos()sin()((22
()
(
)
tetetttete
tttt
cossin2cos2sin2
2
1
22 −−−−
−++−= .
Если известна весовая функция, то интеграл Дюамеля имеет вид
τττ−ω=
∫
dxtty
t
)()()(
0
,
и тогда выходной сигнал в данной задаче будет записан как

Страницы