Теория автоматического управления. Лазарева Т.Я - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0
6242
1021242
234
234
=
+++
++++
ssss
ssss
,
откуда характеристическое уравнение запишется в виде
01021242
234
=++++ ssss .
Задачу будем решать с использованием формулировки критерия устойчивости по Гурви-
цу. Для этого необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить
главный определитель Гурвица по определенному правилу: вдоль главной диагонали запи-
сываются коэффициенты, начиная с а
n – 1
, выше главной диагонали записываются коэффици-
енты с индексом на единицу меньше, ниже главной диагонали записываются коэффициенты
с индексом на единицу больше. Порядок определителя соответствует порядку характеристи-
ческого уравнения. Из этого определителя составляются диагональные миноры, которых
должно быть n – 1.
Система автоматического управления будет устойчивой тогда и только тогда, когда все
диагональные миноры главного определителя будут положительны.
Для нашей задачи главный определитель Гурвица имеет вид
10220
02140
01022
00214
.
Вычислим последовательно диагональные миноры:
04
1
>=∆ ; 034428
2
<
−
=
−
=
∆
;
08744221)4042(4
3
<
−
=
⋅−−⋅=∆ ; 0874010874
4
<
−
=
⋅
−
=
∆
.
Все диагональные миноры отрицательны, следовательно, система неустойчива. Следует
отметить, что для исследования устойчивости не обязательно вычислять все миноры. Если
при вычислении миноров получают, что его значение отрицательно, дальнейшие расчеты
можно прекратить и сделать вывод, что система неустойчива.
2) Исследуем эту же систему автоматического управления на устойчивость с использо-
ванием частотного критерия устойчивости Михайлова.
В соответствии с этим критерием необходимо построить годограф Михайлова, который
для устойчивых систем имеет строго определенный вид. И тогда система автоматического
управления будет устойчивой, если годограф Михайлова начинается на положительной ве-
щественной полуоси, обходит последовательно, нигде не обращаясь в нуль, n квадрантов ко-
ординатной плоскости, уходя в бесконечность в n квадранте, где n – порядок характеристи-
ческого уравнения.
Для записи математического выражения годографа Михайлова необходимо в характери-
стическом уравнении перейти в частотную область, т.е. в уравнении 01021242
234
=++++ ssss
сделать замену – ω= is . В результате получим комплексное выражение
01021242
234
=+ω+ω−ω−ω ii ,
в котором выделим вещественную часть –
01022)(
24
=+ω−ω=ωϕ
и мнимую часть –
0214)(
3
=ω+ω−=ωψ
.
Первая называется вещественной функцией Михайлова, а вторая – мнимой функций
Михайлова.
По вещественной и мнимой функциям Михайлова строится годограф Михайлова в коор-
динатах
)()( ωψ−ωϕ
методом контрольных точек. Для этого задается значение частоты, для

Страницы