Составители:
22 23
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
В зависимости от числа учитываемых в расчете степеней свобо-
ды в узле конечного элемента формируется матрица жесткости
конечного элемента.
Матрица жесткости представляет собой универсальный матема-
тический объект, используемый в методе конечных элементов для
описания упругих свойств как отдельных элементов, так и более круп-
ных частей рассматриваемой системы, а также всей системы цели-
ком. Матрица жесткости может быть составлена и для бесконечно
малого элемента.
По определению матрица жесткости представляет собой
таблицу значений реакций в связях узлов конечного элемента от
единичных перемещений, последовательно задаваемых по направ-
лению этих связей.
Фактически матрица коэффициентов при неизвестных канони-
ческих уравнений метода перемещений представляет собой матрицу
жесткости конструкции.
Если обратиться к таблицам традиционного метода перемеще-
ний, легко заметить, что в них содержатся элементы матрицы жестко-
сти стержневого конечного элемента b.
Порядок матрицы жесткости определяется числом учитываемых
степеней свободы конечного элемента. Для конечного элемента a
с двумя степенями свободы в каждом узле (это линейные перемеще-
ния по направлению каждой из осей системы координат) порядок мат-
рицы жесткости (4×4).
Для конечного элемента b, также имеющего две степени свобо-
ды в узле (линейное вертикальное перемещение и угол поворота),
порядок матрицы, как и в предыдущем случае, (4 × 4).
Для конечного элемента c с тремя степенями свободы в узле (дву-
мя линейными перемещениями по направлению осей координат
и углом поворота) порядок матрицы жесткости (6 × 6). Заметим, что эле-
мент c объединяет элементы a и b. Тем не менее все рассматриваемые
конечные элементы имеют право на самостоятельное существование.
Конечный элемент d используется для расчета тонких плит.
В каждом узле такого конечного элемента учитываются три степени
свободы. Порядок матрицы жесткости элемента (12 × 2).
Последний конечный элемент e может быть использован для
расчета массивных конструкций. В каждом узле такого элемента учи-
тывается шесть степеней свободы.
При разработке компьютерных программ, реализующих метод
конечных элементов, в каждой программе создается библиотека эле-
ментов для всех типов конструкций, расчет которых предполагается
выполнять, используя данную программу. При необходимости мож-
но построить матрицу жесткости для любого конечного элемента
с любыми заданными свойствами. Алгоритм метода конечных эле-
ментов не зависит от параметров используемых матриц жесткости.
Это является важной особенностью МКЭ, позволяющей при помощи
одной компьютерной программы определять напряженно-деформи-
рованное состояние самых различных конструкций заданной стан-
дартной конфигурации, а также создавать расчетные схемы систем,
содержащие элементы разных типов.
2.4. Матрица жесткости шарнирно-стержневого
конечного элемента
Следуя приведенному выше определению матрицы жесткости
как таблицы реакций в узловых связях конечного элемента от после-
довательно задаваемых единичных перемещений, можно получить
матрицу жесткости для некоторых простых конечных элементов, вы-
полняя указанные действия непосредственно.
Рассмотрим шарнирно-стержневой конечный элемент (рис. 2.2)
и последовательно зададим перемещения по направлению узловых
связей. Для такого конечного элемента усилия, возникающие в стер-
жне от задаваемых продольных перемещений, легко определяются
непосредственно из закона Гука.
Если задать перемещение Z
1
= 1, то в стержне возникает усилие
N = EF/l. Реакции в связях 1 и 3 r
11
= EF/l и r
31
= EF/l, а реакции r
21
=
= r
41
= 0. Задавая последовательно единичные узловые перемещения
и вырезая узлы, получим из уравнений проекций на óси ОХ и OY для
каждого из четырех единичных перемещений 16 значений реакций
в связях конечного элемента. Записывая значения реакций в виде таб-
лицы, получим матрицу жесткости шарнирно-стержневого конечно-
го элемента (2.1). Вторая и четвертая строки в матрице (2.1) полнос-
тью нулевые. Такие значения реакций соответствуют вертикальным
перемещениям узлов.
Глава 2. Расчет строительных конструкций
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
