Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26 27
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
ординат, а усилия в конечных элементах – в локальных системах ко-
ординат для каждого конечного элемента.
Переход от локальной системы координат к глобальной и обрат-
но выполняется при помощи известных формул линейной алгебры.
Так, перемещения концов стержней в глобальной системе координат
через заданные перемещения в локальной системе координат опреде-
ляются по формулам
.coscos
,coscos
2212121102
2112111101
α⋅+α⋅=
α⋅+α⋅=
iii
iii
ZZZ
ZZZ
(2.3)
Обратное преобразование выполняется по формулам
,coscos
,coscos
2102110112
2102110111
α⋅+α⋅=
α⋅+α⋅=
iii
iii
ZZZ
ZZZ
(2.4)
где Z
1i0
, Z
2i0
– перемещения узла конечного элемента с номером i
в глобальной системе координат; Z
1i1
, Z
2i1
– перемещения узла конеч-
ного элемента с номером i в локальной системе координат; α
ij
– углы,
образованные осями локальной и глобальной систем координат.
Эти же зависимости в матричной форме имеют вид
,
10
ZAZ
⋅
′
=
(2.5)
.
01
ZAZ
⋅=
(2.6)
Матрицы A и
A
′
содержат направляющие косинусы углов меж-
ду осями локальной и глобальной систем координат. В случае, когда
обе координатные системы прямоугольные, матрица A принимает вид
,
cossin
sincos
αα−
αα
=A
(2.7)
где α – угол между осями X
0
и X
1
.
Косинус угла α между осями глобальной и локальной систем
координат можно вычислить по формуле
αcos
= (X
j
– X
i
) / l
, (2.8)
где l – длина конечного элемента;
X
i
и X
j
– координаты узлов элемента в глобальной системе коор-
динат.
Стандартная матрица преобразования координат шарнирно-стер-
жневого конечного элемента с двумя узлами имеет следующий вид:
.
cossin00
sincos00
00cossin
00sincos
αα−
αα
αα−
αα
=A
(2.9)
Для приведенного выше конечного элемента матрица преобра-
зования координат
.
cossin00
sincos00
00cossin
00sincos
αα−
αα
αα−
α−α−
=A
(2.9′)
Отличие в знаках элементов матриц (2.9) и (2.9′) обусловлено
выбором положительных направлений единичных перемещений, при-
нимаемых при выводе матрицы жесткости (2.1). Перемещение вдоль
оси стержня для левого узла задавалось по направлению отрицатель-
ных значений оси X. Выбор такого направления единичного переме-
щения в дальнейшем позволяет получить усилия в стержне с действи-
тельными знаками. Если задавать направления всех единичных пере-
мещений совпадающими с положительными направлениями
координатных осей, то знак усилия в первом сечении будет обрат-
ным. Подробные сведения о преобразованиях в различных системах
координат можно найти в [5].
Глава 2. Расчет строительных конструкций

Страницы