Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

28 29
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
2.6. Матрица жесткости шарнирно-стержневого элемента
в глобальной системе координат
Рассмотрим шарнирно-стержневой конечный элемент, произ-
вольно ориентированный относительно глобальной системы коорди-
нат (рис. 2.5).
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
X
0
Y
0
X
1
Y
1
Рис. 2.5. Шарнирно-стержневой элемент
в глобальной системе координат
Для вывода матрицы жесткости этого конечного элемента вос-
пользуемся принципом возможных перемещений. По определению
коэффициенты матрицы жесткости представляют собой реакции
в связях от единичных перемещений. Задавая последовательно по на-
правлению узловых связей единичные перемещения, составим урав-
нения возможных работ внешних и внутренних сил. Внешними сила-
ми в данном случае будут искомые реакции в связях, а внутренними –
усилия в элементе, возникающие от задаваемых единичных переме-
щений, которые и выполняют здесь роль возможных.
Всего необходимо вычислить 16 значений величин реакций (по
4 реакции от каждого из 4 единичных перемещений). Эти реакции,
записанные в виде таблицы, и образуют искомую матрицу жесткости
r
0
=
.
44434241
34333231
24232221
14131211
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
Последовательно задаваемые единичные перемещения по на-
правлению глобальных осей координат можно представить единич-
ной матрицей
.
1000
0100
0010
0001
0
=Z
(2.10)
Работу внешних сил определим по формуле
U = r
0
⋅
Z
0
. (2.11)
Работа внутренних сил представляет собой работу усилий в стер-
жне N на деформациях V. Значения внутренних усилий и деформаций
определяются для фиксированных сечений стержня и в матричной
форме могут быть представлены в виде
=
m
v
v
v
V
...
...
2
1
;
,
...
...
2
1
=
m
N
N
N
N
(2.12)
где m – число расчетных сечений конечного элемента.
Итак, работа внутренних сил
.NVW ⋅
′
=
(2.13)
Операция транспонирования матрицы V в (2.13) обусловлена
правилами матричной алгебры.
Определим усилия. Усилия в конечном элементе вычисляются
в локальной системе координат по формуле
,
11
ZrN ⋅=
но, согласно (2.5),
Глава 2. Расчет строительных конструкций

Страницы