Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

36 37
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
,)()( xMxZEJ =
′′
⋅
(2.18)
где Z(x) – функция прогибов стержня.
Так как функция Z(x) заранее не известна, необходимо задать ее
так, чтобы она удовлетворяла уравнению (2.18). Подробно вопросы
выбора функций и их параметров для различных дифференциальных
уравнений можно найти в [1]. В данном случае функция, аппрокси-
мирующая функцию Z(x), должна иметь не равные нулю производ-
ные до 4-го порядка включительно. Например, можно задать эту фун-
кцию в виде полинома третьей степени по x [2]
3
4
2
321
)( xfxfxffxZ +++=
(2.19)
или в матричной форме
[ ]
[ ]
[ ]
.1
32
fxxxfWZ ⋅==
(2.20)
Z
i
Z′
i
Z′
j
Z
l
i
j
g
Рис. 2.7. Изгибаемый стержневой
конечный элемент с двумя
степенями свободы в узле
Для вывода матрицы жесткости зададим по направлению узло-
вых связей конечного элемента линейные и угловые единичные пере-
мещения. Линейные перемещения можно определить непосредственно
по формуле (2.20). Для определения углов поворота продифференци-
руем (2.20) по x. Получим
[ ]
[ ]
[ ]
.3210
2
fxxfWZ ⋅=
′
=
′
(2.21)
Подставляя в (2.20) и (2.21) координаты левого и правого узлов
стержня, составим выражения для единичных перемещений и углов
поворота. Все перемещения последовательно запишем в виде матрицы
[ ] [ ]
,
3210
1
0010
0001
1000
0100
0010
0001
2
32
0
fAf
ll
lll
Z =⋅
=
=
откуда
[ ]
.
1−
= Af
В каждом столбце матрицы Z
0
записаны перемещения, заданные
по направлению узловых связей последовательно. Так, в первом стол-
бце z
1
= 1, z
2
= 0, z
3
= 0, z
4
= 0, во втором z
1
= 0, z
2
= 1, z
3
= 0, z
4
= 0 и т. д.
Для определения деформаций стержня запишем выражение вто-
рой производной функции перемещений:
[ ] [ ] [ ]
,6210 fxfWZ ⋅=
′′
=
′′
(2.21′)
.
1
−
⋅=
′′
ABZ
Работа внутренних сил на деформациях, соответствующих пе-
ремещениям Z
0
,
.)()()/(
00
∫∫
⋅
′′
⋅⋅
′′
=⋅=
ll
dxxZEJxZdxEJMMW
(2.22)
Подставляя в (2.22) выражение для
Z
′′
(2.21′), получим
.)()(
1
0
1
dxABEJBAW
l
⋅⋅⋅⋅
′
⋅=
−−
∫
(2.23)
Работа внешних сил определяется выражением (2.11) и в дан-
ном случае
U = r ⋅ Z
0
= r.
Глава 2. Расчет строительных конструкций

Страницы