Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38 39
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
Приравнивая работу внешних и внутренних сил, получим окон-
чательно для определения матрицы жесткости стержневого изгибае-
мого элемента (см. рис. 2.7) выражение
( )
.)(
1
0
1 −−
′
′
=
∫
ABEJBAr
l
(2.24)
Операция транспонирования матриц в (2.23) обусловлена пра-
вилами матричной алгебры.
Формула (2.24), выведенная для изгибаемого стержня с двумя
степенями свободы в узле, в действительности может быть использо-
вана для получения матриц жесткости любого конечного элемента.
Достаточно лишь подставить в (2.24) соответствующие выражения
для перемещений и деформаций, а также дифференциальные зависи-
мости между усилиями и деформациями [2].
Матрица жесткости, вычисленная по формуле (2.24) для поло-
жительных направлений узловых перемещений по рис. 2.7, имеет вид
.
2/31/3
/3/6/3/6
1/32/3
/3/6/3/6
2
22
22
−−
−−
−−
−−
=
ll
llll
ll
llll
l
EJ
r
(2.25)
Используя матрицу (2.25), можно решать задачи расчета стати-
чески неопределимых балок и рам. Однако для расчета рамных сис-
òåì óäî áí åå èñï î ëüçî âàòü êî í å÷í û é ýëåì åí ò, ï î êàçàí í û é í à ðèñ. 2.1,
в.
Матрицу жесткости этого конечного элемента можно получить, объе-
динив матрицы (2.1) и (2.25). Объединение этих матриц дает матрицу
(2.26). Матрица жесткости изгибаемого стержня с шарнирным кон-
цом приводится в приложении.
.
/4/60/2/60
/6/120/6/120
00/00/
/2/60/4/60
/6/120/6/120
00/00/
22
2323
22
2323
−−
−−
−−
−−
=
lEJlEJlEJlEJ
lEJlEJlEJlEJ
EFlEFl
lEJlEJlEJlEJ
lEJlEJlEJlEJ
EFlEFl
r
(2.26)
2.8. Определение усилий
При расчете стержневых систем усилия в расчетных сечениях
конечных элементов определяются по формуле (2.14) при помощи
матрицы жесткости.
При расчете континуальных систем, например плит, усилия при
выводе дифференциального уравнения изгиба предполагаются рас-
пределенными. Они вычисляются при помощи матрицы усилий, ко-
торую необходимо определять дополнительно.
Процесс получения матрицы усилий продемонстрируем на при-
мере стержневого элемента. В общем случае матрица усилий опреде-
ляется через матрицу жесткости бесконечно малого элемента C. Для
стержневого изгибаемого элемента C = EJ, для шарнирно-стержнево-
го элемента C = EF.
Для бесконечно малого элемента усилие S = C
⋅
v. Деформации
определяются по (2.21′):
1−
⋅= ABv
. Тогда усилия в конечном элементе
,
1
ZNZABCS ⋅=⋅⋅⋅=
−
(2.27)
где N – матрица усилий;
Z – перемещения в узлах конечного элемента.
Элементы матрицы N в (2.27) зависят от координат точек, в ко-
торых определяются усилия. Можно задать любые координаты в пре-
делах соответствующего конечного элемента и для этих точек вычис-
лять усилия по выражению (2.27) [2].
Глава 2. Расчет строительных конструкций

Страницы