Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

42 43
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
2.10. Матрица учета реакций упругого основания
Для расчета конструкций на упругом основании методом конеч-
ных элементов достаточно к матрице жесткости стержневого элемен-
та добавить матрицу, учитывающую реакции упругого основания. При
этом реакцию упругого основания можно представить в виде распре-
деленной по длине конечного элемента нагрузки. Используем для
моделирования упругого основания гипотезу Винклера, в соответствии
с которой величина реакции упругого основания принимается про-
порциональной величинам вертикальных перемещений:
,)()( xZkxp ⋅=
(2.31)
где k – коэффициент «постели», характеризующий упругие свойства
основания.
Подставим, как показано в [2], выражение прогиба (2.20) в (2.31):
.)()(
1
ZAWkxZkxp ⋅⋅⋅=⋅=
−
Задавая последовательно единичные узловые перемещения Z,
получим
.)(
1−
⋅⋅= AWkxp
Подставляя это выражение в (2.30) вместо q(x), определим
( )
.
11 −−
⋅⋅
′
⋅
′
=
∫
AdxWWkAp
e
L
(2.32)
В (2.32) L
e
– длина конечного стержневого элемента. Предпола-
гается, что в пределах длины конечного элемента коэффициент «по-
стели» k постоянен. Матрицы, полученные по (2.32) для изгибаемых
стержневых элементов, приводятся в приложении.
2.11. Построение конечно-элементной модели
При построении конечно-элементных моделей конструкций узлы
конечно-элементной модели должны обязательно располагаться:
• в характерных точках расчетной схемы, а именно в точках
изменения геометрии или жесткостных характеристик системы;
• точках, где приложены сосредоточенные силы или моменты;
• точках, где начинается или заканчивается равномерно рас-
пределенная нагрузка;
• точках, где изменяются параметры упругого основания.
Кроме того при назначении узлов конечно-элементной модели
желательно, чтобы линейные размеры конечных элементов были оди-
наковыми или не очень сильно отличались друг от друга.
На рис. 2.9 приводится пример расчетной схемы балки и воз-
можной конечно-элементной модели.
q
F
Конечно-элементная модель
EJ
1
EJ
2
Упругое основание
Рис. 2.9. Схема балки и возможная конечно-элементная модель
Пример 7. Расчет балки методом конечных элементов. Расчет-
ная схема, конечно-элементная модель балки и нумерация узлов, ко-
нечных элементов и узловых перемещений приводятся на рис. 2.10.
Для расчета будем использовать матрицу (2.25).
4
4
4
4
EJ – const
F
1
= 20 кН
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
Z
7
Z
8
1
Z
10
Z
9
1
2
3
4
1
2 3
4
5
q = 20 кН/м
Рис. 2.10. Схема балки и конечно-элементная модель
Глава 2. Расчет строительных конструкций

Страницы