Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

40 41
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
Например, для изгибаемого стержня с двумя степенями свобо-
ды в узле изгибающие моменты определяются по формуле
)(xZEJM
′′
⋅=
, а поперечные силы
dxdMQ
=
. Подставляя в матри-
цу B (2.21) координаты трех расчетных сечений [0, l/2, l] и записывая
их последовательно по строкам, получим матрицу для вычисления
изгибающих моментов и поперечных сил.
−−
−−
−
⋅=
−
2323
22
1
/1/2/1/2
/1/3/2/3
0010
0001
6000
6200
3200
0200
llll
llll
EJ
l
l
ABN
, (2.28)
.
/6/12/6/12
/4/6/2/6
/10/10
/2/4/4/6
2323
22
22
−−
−
−−
=
llll
llll
ll
llll
EJN
(2.29)
Последняя строка в матрице B (2.28) является выражением для
поперечной силы, постоянной по длине стержня.
Умножая матрицу N (2.29) на вектор узловых перемещений, мож-
но определить изгибающие моменты в трех сечениях конечного эле-
мента (по концам и в середине) и поперечную силу. Матрица
1
−
A
(2.28)
приводится в [2].
2.9. Приведение нагрузки к узлам
Важной особенностью метода конечных элементов, как и клас-
сического метода перемещений, является невозможность непосред-
ственного учета нагрузок, приложенных вне узлов конечно-элемент-
ной модели. Нагрузки, приложенные вне узлов, должны приводиться
к узлам. Как показано в [2], замена распределенной нагрузки эквива-
лентной узловой может быть выполнена на основе равенства работ
распределенной и узловой нагрузок.
Работа распределенной нагрузки q(x), приложенной к стержне-
вому конечному элементу, определяется по формуле
.)()(
0
распр
∫
=
l
dxxzxqА
Работа узловой нагрузки
,
узл
PZА
⋅
′
=
где
Z
′
– матрица единичных перемещений.
Как было показано выше,
,
1
−
⋅= AWZ
тогда вектор узловых нагрузок
( )
.)(
1
∫
⋅
′
⋅=
−
l
dxxqWAP
(2.30)
Вычисление по формуле (2.30) для равномерно распределенной
нагрузки, приложенной к конечному элементу длиной l с двумя за-
щемлениями, дает
=
212212
22
qlqlqlql
P
, (2.31)
что соответствует узловым моментам и реакциям из таблицы метода
перемещений. Равномерно распределенная нагрузка на конечный эле-
мент и эквивалентная ей узловая нагрузка показаны на рис. 2.8.
ql
2
/12
ql
2
/12
ql/2
ql/2
Рис. 2.8. Распределенная
и узловая нагрузки
Для стержневых конечных элементов приведение нагрузки к уз-
ловой можно выполнять при помощи таблиц метода перемещений,
однако предпочтительнее строить конечно-элементную модель так,
чтобы сосредоточенные силы оказывались приложенными в узлах.
Глава 2. Расчет строительных конструкций

Страницы