Численные методы расчета строительных конструкций. Лебедев А.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

44 45
А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций
Матрицы жесткости конечных элементов (2.25) имеют вид
.
1375,05,0375,0
375,01875,0375,01875,0
5,0375,01375,0
375,01875,0375,01875,0
4,..,1
−−
−−
−−
−−
= EJr
(2.33)
Для решения задачи переведем матрицы (2.33) в глобальную
систему координат (2.15). Матрица преобразования координат
.
1000
0100
0010
0001
−
=A
В результате преобразования (2.15) матрицы примут вид
.
1375,05,0375,0
375,01875,0375,01875,0
5,0375,01375,0
375,01875,0375,01875,0
4,..,1
−
−−−
−
−
= EJr
Так как все конечные элементы имеют одинаковые размеры
и жесткости, матрицы для них одинаковые. Знаки элементов 1-й строки
и 1-го столбца матрицы соответствуют направлению линейного пере-
мещения левого узла конечного элемента вниз, в отличие от направ-
ления, показанного на рис. 2.7. Такое правило знаков удобнее исполь-
зовать при расчете балок. Матрицы r
1,…,4
подставляются в матрицу
конечно-элементной модели в соответствии с номерами узловых пе-
ремещений каждого элемента.
При формировании матрицы K матрицы конечных элементов
записываются в матрицу так, чтобы их главная диагональ совпадала
с главной диагональю матрицы K. Так как у соседних элементов но-
мера узловых перемещений совпадают, то в соответствующие ячейки
матрицы K попадают одновременно коэффициенты матриц r
1
, …, r
4
,
представляющие собой реакции в связях от перемещений, задавае-
мых на правом конце конечного элемента с номером g и левом конце
конечного элемента с номером g
+
1. Эти коэффициенты суммируют-
ся. Матрица жесткости конечно-элементной модели имеет порядок
(10×10) в соответствии с общим числом узловых перемещений.
Свободные члены системы уравнений определяются, как в ме-
тоде перемещений. Вычислив для элемента 1 значения узловых со-
ставляющих нагрузки (2.31), получим
[ ]
[ ]
.67,264067,2640
4321
−−−=
pppp
RRRR
Соответственно R
5p
= –20, R
7p
= –10. Остальные свободные члены
равны 0.
После учета граничных условий Z
1
= Z
2
= Z
3
= Z
9
= Z
10
= 0 получим
систему уравнений
,
0
0
0
0
0
0
10
0
20
67,26
205,0375,00
0375,0375,01875,00
5,0375,0205,0
375,01875,00375,0375,0
005,0375,02
8
7
6
5
4
=
−
−
+
⋅
−−
−
−−
−
Z
Z
Z
Z
Z
откуда
[ ]
.
1
93,4597,16152,3858,19333,13
EJ
Z −=
Для определения усилий можно воспользоваться либо матрицей
(2.29), либо матрицей жесткости (2.25). В первом случае изгибающие
моменты вычисляются в трех сечениях стержня, во втором – в сече-
ниях, расположенных по концам элемента.
Чтобы вычислить усилия, сформируем векторы перемещений для
всех конечных элементов. Для этого выберем из вектора решения си-
стемы уравнений Z не равные нулю перемещения в узлах конечных
Глава 2. Расчет строительных конструкций

Страницы