Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

P
1
n
P
n
k =1
ξ
k
−
1
n
P
n
k=1
Mξ
k
>
ε
6
c
nε
2
→
0
pri
n
→ ∞
. J
Sledstvie. Esli Mξ
k
= m
, to
1
n
P
n
k=1
ξ
k
shodits po verot-
nosti k
m pri n
→ ∞.
Teorema 7.2.
(
Zakon bol~xih qisel v forme Bernulli
). Qasto-
ta uspehov v posledovatel~nosti
n
nezavisimyh ispytani$i po
sheme Bernulli shodits po verotnosti pri n → ∞
k verot-
nosti uspeha v odnom ispytanii.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ verotnost~ uspeha v odnom ispy-
tanii ravna p
i ξ
k
= I
A
k
, gde
A
k
— sobytie, sostowee v
tom, qto v
k -m ispytanii imeet mesto uspeh. Sluqa$inye ve-
liqiny ξ
k
imet matematiqeskie oidani
Mξ
k
=
P
(A
k
) = p i
dispersii Dξ
k
= p
(1 −p
)
< 1
, potomu po sledstvi teoremy 7.1
qastota uspehov
1
n
P
n
k
=1
ξ
k
shodits po verotnosti k
p. J
Vo mnogih verotnostnyh zadaqah vstreqaets normal~noe
raspredelenie. Priqinu xirokogo rasprostraneni togo ras-
predeleni vpervye vyvil russki$i matematik A.M.Lpunov,
kotory$i s pomow~ razrabotannogo im metoda harakteristi-
qeskih funkci$i dokazal
central~nu predel~nu teoremu
, koto-
ra utverdaet, qto pri ves~ma obwih uslovih raspredelenie
summy
n nezavisimyh sluqa$inyh veliqin shodits pri n → ∞
k normal~nomu raspredeleni.
Dokaem qastny$i sluqa$i central~no$i predel~no$i teoremy.
Teorema 7.3. (
Teorema Lindeberga–Levi)
. Pust~ {ξ
n
}
∞
n
=1
— pos-
ledovatel~nost~ nezavisimyh odinakovo raspredelennyh sluqa$inyh
veliqin s Mξ
n
=
m, Dξ
n
=
σ
2
i pust~
η
n
=
P
n
k=1
ζ
k
, gde
ζ
k
=
ξ
◦
k
/
(
σ
√
n
)
. Togda
lim
n→∞
F
η
n
(
x) = Φ(
x) pri vseh x ∈ R, gde
Φ(
x) — funkci normal~nogo raspredeleni s
m
= 0, σ
= 1
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Poskol~ku
Mζ
k
= 0, Dζ
k
=
1
n
, harakte-
ristiqesku funkci sluqa$ino$i veliqiny ζ
k
mono predsta-
vit~ v vide ϕ
ζ
k
(
t) = 1 −
t
2
2
n
+ o
(t
2
/n
) pri n
→ ∞. Potomu
lim
n→∞
ϕ
η
n
(t) = lim
n→∞
1 −
t
2
2n
+
o(
t
2
/n
)
n
= e
−
t
2
/
2
pri
n
→ ∞. Po
teoreme 6.1 lim
n→∞
F
η
n
(
x
) = Φ(
x
)
. J
Sledstvie. Raspredelenie sluqa$ino$i veliqiny
1
n
P
n
k
=1
ξ
k
pri
n → ∞
pribliaets k
N(m, σ
2
/n
)
.
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
100

Страницы