Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Mono dokazat~, qto sootvetstvie medu raspredelenimi i
ih harakteristiqeskimi funkcimi vzaimno odnoznaqno.
Teorema 6.1.
(
Predel posledovatel~nosti harakteristiqeskih
funkci$i
)
. Dl togo qtoby posledovatel~nost~ funkci$i raspre-
deleni
{
F
n
(x
)}
∞
n=1
s harakteristiqeskimi funkcimi ϕ
n
(
t
) sho-
dilas~ k funkcii raspredeleni
F
(
x
)
, neobhodimo i dostatoqno,
qtoby posledovatel~nost~ {ϕ
n
(t
)}
∞
n
=1
shodilas~ k predelu
ϕ
(t
)
,
nepreryvnomu v toqke
t
= 0. Togda
ϕ
(
t
)
vlets harakteristi-
qesko$i funkcie$i funkcii raspredeleni F
(x).
Bez dokazatel~stva.
Teorema 6.2. (Svo$istva harakteristiqeskih funkci$i
)
.
1. |
ϕ
ξ
(
t
)
|6ϕ
ξ
(0) = 1;
2.
Pri de$istvitel~nyh a, b ϕ
aξ
+
b
(t) =
e
itb
ϕ
ξ
(at);
3
. Esli ξ, η nezavisimy, to ϕ
ξ+η
(
t) = ϕ
ξ
(
t)
ϕ
η
(
t);
4.
Esli suwestvuet
α
k
(
ξ
), to suwestvuet
k - proizvodna ha-
rakteristiqesko$i funkcii i α
k
(ξ) = i
−
k
ϕ
(
k
)
ξ
(0).
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. |ϕ
ξ
(t)|
6M
|
e
itξ
| = M
1 = 1 =
M
(
e
i0
ξ
) =
ϕ
ξ
(0)
.
2. ϕ
aξ+
b
(
t
) =
Me
it
(
aξ
+b
)
=
e
itb
Me
itaξ
= e
itb
ϕ
ξ
(
at).
3. ϕ
ξ+
η
(t) = Me
it(ξ+η
)
= M
(e
itξ
e
itη
) =
Me
itξ
Me
itη
=
ϕ
ξ
(t
)
ϕ
η
(t)
.
4. Perestavl operacii matematiqeskogo oidani i diffe-
rencirovani, poluqim i
−
k
ϕ
(
k)
ξ
(0) = M(
ξ
k
e
itξ
)
t=0
=
M(
ξ
k
).
J
7. Predel~nye teoremy
Opredelenie 7.1.
(Predel po verotnosti). Sluqa$ina veliqi-
na
ξ
nazyvaets predelom po verotnosti P
posledovatel~nos-
ti sluqa$inyh veliqin {
ξ
n
}
∞
n=1
(
simvoliqeski ξ
n
P
−→
ξ
), esli dl
vskogo
ε >
0 lim
n
→∞
P (
|ξ
−
ξ
n
|>
ε) = 0
.
Teorema 7.1.
(Zakon bol~xih qisel v forme Qebyxeva). Pust~
{
ξ
n
}
∞
n=1
— posledovatel~nost~ nezavisimyh sluqa$inyh veliqin s
koneqnymi matematiqeskimi oidanimi i dispersimi, udov-
letvorwimi uslovim
Dξ
i
6c <
∞. Togda dl vskogo ε >
0
lim
n
→∞
P
1
n
n
X
k=1
ξ
k
−
1
n
n
X
k=1
Mξ
k
>ε
!
= 0.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Uqityva svo$istva matematiqeskogo oi-
dani i dispersii i neravenstvo
Dξ
k
6
c <
∞
, poluqim
M
h
1
n
P
n
k =1
ξ
k
i
=
1
n
P
n
k =1
Mξ
k
, D
h
1
n
P
n
k=1
ξ
k
i
=
1
n
2
P
n
k
=1
Dξ
k
6
c
n
.
Iz neravenstva Qebyxeva dl
1
n
P
n
k
=1
ξ
k
sleduet, qto
99

Страницы