Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Sledstvie. Sluqa$inye veliqiny i processy 2-go pordka imet
koneqnye momenty i momentnye funkcii 1-go i 2-go pordkov.
Teorema 2.2.
(Prostranstvo sluqa$inyh veliqin 2-go pordka
)
.
Mnoestvo L
2
(Ω
,
A
, P
)
vlets vewestvennym line$inym
prostranstvom. Esli otodestvlt~ sluqa$inye veliqiny
ξ, η ∈
L
2
(Ω, A
, P
), dl kotoryh M(ξ
−
η
)
2
= 0
, to v L
2
(Ω
, A, P
)
mono opredelit~ skalrnoe proizvedenie i normu sleduwim
obrazom:
(ξ , η
)
M
(
ξη) , ||
ξ
||
p
(ξ , ξ
) =
p
Mξ
2
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ Mξ
2
<
∞
, Mη
2
< ∞, a ∈
R. Togda
M
(
aξ
)
2
= a
2
Mξ
2
<
∞
i
M
(
ξ
+
η)
2
=
Mξ
2
+ 2
M(
ξη
) +
Mη
2
6
Mξ
2
+
+2|
M
(ξη)
|
+Mη
2
6
Mξ
2
+2
p
Mξ
2
p
Mη
2
+Mη
2
= (
p
Mξ
2
+
p
Mη
2
)
2
< ∞,
otkuda sleduet, qto
L
2
(Ω,
A, P
) — line$inoe prostranstvo.
Proverim vypolnenie aksiom skalrnogo proizvedeni dl
(
ξ , η
) = M
(ξη): 1) esli ξ = 0
, to (ξ , ξ) = M
0 = 0. Obrat-
no, esli (
ξ , ξ) = Mξ
2
=
M(
ξ
−
0)
2
= 0, to po uslovi ξ = 0
;
2) (
ξ , η) = Mξη = Mηξ = (
η , ξ); 3) (aξ
+ bη , ζ) =
M((aξ + bη)ζ) =
= aM(ξζ
) +
bM
(ηζ
) =
a
(ξ , ζ
) +
b(η , ζ)
.
Aksiomy normy dl
||
ξ|| =
p
(ξ , ξ)
vsegda vypolnts. J
Zameqanie.
Drugo$i vid neravenstva Koxi —
|(
ξ , η
)|
6
||ξ
|| · ||
η||
.
Naliqie normy v prostranstve L
2
(Ω
, A
, P
) pozvolet vvesti
pontie predela posledovatel~nosti sluqa$inyh veliqin vtorogo
pordka i pontie predela sluqa$inogo processa.
Opredelenie 2.2. (
Predely v srednem kvadratiqnom). Sluqa$ina
veliqina
η ∈ L
2
(Ω
, A
, P ) nazyvaets predelom v srednem kvadra-
tiqnom (s. k.
)
posledovatel~nosti
{ξ
n
}
∞
n
=1
sluqa$inyh veliqin
2-go pordka, esli lim
n
→∞
||
ξ
n
−
η
||
= 0 (
simvoliqeski η = l.i.
m
.
n→∞
ξ
n
).
Sluqa$ina veliqina η
nazyvaets predelom v s. k. processa ξ(t
)
2
-go pordka pri
t
→
t
0
, esli lim
t
→t
0
||ξ
(
t) −
η||
= 0 (
η = l.
i
.
m
.
t
→t
0
ξ
(t))
.
Teorema 2.3.
(Polnota prostranstva L
2
(Ω
, A
, P
))
. Dl togo
qtoby suwestvoval l.i.m
.
n
→∞
ξ
n
, neobhodimo i dostatoqno, qtoby
lim
m,n→∞
||
ξ
m
− ξ
n
||
= 0 (
kriteri$i Koxi suwestvovani predela
).
Bez dokazatel~stva.
Kriteri$i, kvivalentny$i kriteri Koxi, no bolee udob-
ny$i dl primeneni v teorii sluqa$inyh processov, daets v
sleduwem utverdenii.
112

Страницы