Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Teorema 3.1. (
Kriteri$i nepreryvnosti v s. k.)
. Sluqa$iny$i pro-
cess
ξ(t) nepreryven v s. k. v toqke
t
0
togda i tol~ko togda,
kogda matematiqeskoe oidanie
m
ξ
(
t)
nepreryvno v toqke
t
0
i
korrelcionna funkci K
ξ
(t, u
)
nepreryvna v toqke
(
t
0
, t
0
).
D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie teoremy sleduet iz kriteri
suwestvovani predela v s. k. sluqa$inogo processa.
Opredelenie 3.2.
(Differenciruemost~ sluqa$inyh processov)
.
Sluqa$iny$i process ξ
(
t
)
nazyvaets differenciruemym v s. k. v
toqke t
0
, esli suwestvuet predel l
.
i.m
.
t
→
t
0
ξ(
t
) −
ξ
(t
0
)
t −
t
0
. tot predel
nazyvaets proizvodno$i v s. k. processa
ξ
(
t) v toqke
t
0
.
Dl proizvodno$i sluqa$inogo processa priments te e
oboznaqeni, qto i dl obyqnyh proizvodnyh.
Teorema 3.2. (
Kriteri$i differenciruemosti v s. k.
). Process
ξ
(
t) differenciruem v s. k. v toqke t
0
togda i tol~ko togda,
kogda suwestvut proizvodnye
dm
ξ
(
t
)
dt
t
=
t
0
,
∂
2
K
ξ
(t, u)
∂t ∂u
(
t,u
)=(t
0
,t
0
)
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~
η
(
t
) =
ξ
(
t
) −
ξ
(
t
0
)
t
−
t
0
. Soglasno krite-
ri suwestvovani predela sluqa$inogo processa proizvodna
ξ
0
(t
0
) = l.
i.m.
t
→t
0
η(t)
suwestvuet togda i tol~ko togda, kogda suwes-
tvut predel
lim
t
→
t
0
Mη(t
) = m
0
ξ
(t
0
) i predel
lim
(t,u
)
→
(t
0
,t
0
)
K
η
(t, u
) = lim
t→
t
0
lim
u→t
0
K
ξ
(t, u) −
K
ξ
(t, t
0
)
−
K
ξ
(
t
0
, u
) + K
ξ
(
t
0
, t
0
)
(
t − t
0
)(u − t
0
)
=
= lim
t
→
t
0
1
t
−
t
0
∂K
ξ
(
t, u)
∂u
−
∂K
ξ
(t
0
, u
)
∂u
u
=
t
0
=
∂
2
K
ξ
(t, u
)
∂t ∂u
(
t,u
)=(t
0
,t
0
)
.
J
Teorema 3.3. (
Harakteristiki proizvodno$i
). Pust~
ξ
0
(t) — pro-
izvodna differenciruemogo sluqa$inogo processa
ξ(t
)
. Togda
:
m
ξ
0
(
t
) =
m
0
ξ
(
t), K
ξ
0
ξ
(
t, u
) =
∂K
ξ
(
t, u)
∂t
, K
ξ
0
(t, u
) =
∂
2
K
ξ
(t, u
)
∂t ∂u
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Po teoreme 2.4
m
ξ
0
(
t
) =
M
l
.
i.
m
.
s→
t
ξ
(
s)
−
ξ
(
t
)
s − t
= lim
s
→
t
m
ξ
(s
) −
m
ξ
(t)
s − t
= m
0
ξ
(
t
).
K
ξ
0
ξ
(
t, u) =
ξ
◦
(u
)
, l.i.
m
.
s
→
t
ξ
◦
(s) −
ξ
◦
(t
)
s
− t
!
=
= lim
s→
t
M
ξ
◦
(
s
)ξ
◦
(u)
−
ξ
◦
(t
)ξ
◦
(u)
s − t
!
= lim
s
→
t
K
ξ
(s, u)
− K
ξ
(
t, u
)
s − t
=
∂K
ξ
(t, u
)
∂t
.
114

Страницы