Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Opredelenie 3.4. (
Integral~noe preobrazovanie processa)
. In-
tegral~nym preobrazovaniem s drom
h
(t, τ
) sluqa$inogo processa
ξ(
t
) nazyvaets sluqa$iny$i process
η
(t
) =
R
∞
−∞
h(
t, s
)
ξ
(s)ds.
Teorema 3.6.
(Harakteristiki integral~nogo preobrazovani
)
.
Integral~noe preobrazovanie η
(t) =
R
∞
−∞
h(t, s)
ξ(s)ds processa ξ(
t)
suwestvuet togda i tol~ko togda, kogda suwestvut integ-
raly
R
∞
−∞
h
(
t, s)m
ξ
(
s)ds,
R
∞
−∞
R
∞
−∞
h(t, u)
h(t, v)
K
ξ
(u, v
)dudv , priqem
m
η
(
t
) =
R
∞
−∞
h
(
t, s
)
m
ξ
(
s)
ds, K
η
(
t, u) =
R
∞
−∞
R
∞
−∞
h(
t, r
)h(u, s)K
ξ
(
r, s
)drds,
K
ξη
(
t, u
) =
R
∞
−∞
h
(u, s)K
ξ
(t, s
)
ds
.
Sledstvie.
Esli
η
(t) =
R
t
0
ξ
(s)
ds, to m
η
(
t
) =
R
t
0
m
ξ
(s
)ds,
K
ξ
(
t, u
) =
R
t
0
R
u
0
K
ξ
(r, s
)drds.
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
4. Razloenie Karunena–Lova
Korrelcionnu funkci mono rassmatrivat~ kak dro
integral~nogo preobrazovani. Po teoreme 1.1 (p.p. 7, 8)
to dro simmetriqno i neotricatel~no opredeleno. Odnako
v bol~xinstve priloeni$i krome svo$istva neotricatel~no$i op-
redelennosti
P
n
i=1
P
n
j
=1
K
ξ
(t
i
, t
j
)
x
i
x
j
>0
pri lbyh
x
k
∈ R
, k
=
1, . . . , n
korrelcionna funkci sluqa$inogo processa obladaet
bolee sil~nym svo$istvom
poloitel~no$i opredelennosti, zak-
lqawims v tom, qto v ukazannom sootnoxenii ravenstvo
imeet mesto tol~ko pri uslovii
x
1
= . . . =
x
n
= 0. Dl takih
der v spravedlivo sleduwee utverdenie.
Teorema 4.1. (
Teorema Mersera
)
. Simmetriqnoe nepreryvnoe po-
loitel~no opredelennoe dro
K(
t, u
) , t, u
∈ [a, b]
moet byt~
predstavleno v vide absoltno i ravnomerno shodwegos r-
da K(t, u) =
P
∞
i
=1
λ
i
ϕ
i
(t
)ϕ
i
(u)
, gde nepreryvnye funkcii ϕ
i
(
t)
i
poloitel~nye qisla λ
i
udovletvort integral~nomu uravne-
ni
R
b
a
K(
t, u)
ϕ
i
(u)
du = λ
i
ϕ
i
(
t)
i uslovim ortonormirovannosti
na otrezke [
a, b
]
R
b
a
ϕ
i
(
t)
ϕ
j
(t
)
dt
=
1 pri i = j
0 pri
i
6=
j
.
Funkcii ϕ
i
(t)
nazyvats sobstvennymi funkcimi dra
K
(t, u
), sootvetstvuwimi sobstvennym znaqenim λ
i
. Mono
pokazat~, qto mnoestvo {ϕ
i
(t
)
}
∞
n=1
sobstvennyh funkci$i po-
loitel~no opredelennogo dra obladaet svo$istvom polnoty
,
zaklqawims v tom, qto vska funkci f(t
) , t ∈ [a, b
], udov-
letvorwa uslovi
R
b
a
|f
(t)|
2
dt < ∞
, moet byt~ predstavlena
v vide rda
f(t
) =
P
∞
i=1
f
i
ϕ
i
(
t
), gde
f
i
=
R
b
a
f
(
t
)ϕ
i
(t)
dt
.
116

Страницы