Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Teorema 4.2. (
Razloenie Karunena–Lova)
. Vski$i nepreryv-
ny$i v s. k. sluqa$iny$i process ξ
(t)
, t ∈ [a, b
] s poloitel~no
opredelenno$i korrelcionno$i funkcie$i moet byt~ predstav-
len v vide shodwegos v s. k. rda ξ(
t) =
P
∞
i
=1
α
i
ϕ
i
(t), gde
α
i
=
R
b
a
ξ(
t)ϕ
i
(
t
)
dt — poparno nekorrelirovannye sluqa$inye veli-
qiny s Mα
i
=
R
b
a
m
ξ
(
t)
ϕ
i
(
t)
dt , Dα
i
=
λ
i
;
λ
i
— sobstvennye qisla,
ϕ
i
(
t
) — sobstvennye funkcii dra K
ξ
(
t, u)
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Momenty 1-go i 2-go pordka sluqa$inyh
veliqin α
i
ravny: Mα
i
= M
R
b
a
ξ
(t
)ϕ
i
(t)dt
=
R
b
a
m
ξ
(
t
)ϕ
i
(t)dt
=
m
i
,
K
α
i
α
j
=
R
b
a
R
b
a
K
ξ
(t, u)
ϕ
i
(t)ϕ
j
(
u)dtdu =
R
b
a
ϕ
i
(
t
)
R
b
a
K
ξ
(t, u
)
ϕ
j
(u)du
dt
=
=
λ
i
R
b
a
ϕ
i
(
t
)
ϕ
j
(
t)
dt
=
δ
ij
λ
i
. Takim obrazom, dl sluqa$inyh veli-
qin α
i
vypolnts utverdeni teoremy.
Dokaem, qto posledovatel~nost~ qastiqnyh summ s
n
=
=
P
n
i=1
α
i
ϕ
i
(t
)
shodits v s. k. i ee predel raven
ξ(t
)
. Po teo-
reme 2.4 dl togo neobhodimo i dostatoqno dokazat~ ravenstva
lim
n
→∞
Ms
n
=
m
ξ
(t
) , lim
m,n→∞
K
s
m
s
n
=
K
ξ
(
t, t
). Pervoe sleduet iz
polnoty mnoestva
{ϕ
i
(t)
}
∞
n=1
. Vtoroe sleduet iz teoremy Mer-
sera lim
m,n→∞
K
s
m
s
n
= lim
m,n→∞
min{
m,n
}
X
i
=1
λ
i
ϕ
i
(t
)
ϕ
i
(t) =
K
ξ
(t, t
)
.
J
Razloenie Karunena–Lova pokazyvaet, qto sluqa$iny$i pro-
cess 2-go pordka mono polnost~ opredelit~, zadava so-
otvetstvuwim obrazom posledovatel~nost~ nekorrelirovannyh
sluqa$inyh veliqin — kofficientov α
i
razloeni. U nor-
mal~nyh sluqa$inyh processov ti kofficienty vlts vza-
imno nezavisimymi normal~nymi sluqa$inymi veliqinami.
Teorema 4.2 navodit na mysl~ o vozmonosti predstavleni
processov 2-go pordka v vide
ξ(t
) =
P
n
k
=1
α
k
f
k
(
t), gde
α
k
—
sluqa$inye veliqiny 2-go pordka, f
k
(
t)
— nesluqa$inye fun-
kcii vremeni. Pri takom predstavlenii
m
ξ
(t) =
n
X
k
=1
m
α
k
f
k
(t), K
ξ
(
t, u) =
n
X
i
=1
n
X
j
=1
K
α
i
α
j
f
i
(
t)
f
j
(
u
)
.
Primer 4.1.
Sluqa$iny$i process
ξ
(t
) =
α sin ω
0
t
+
β cos
ω
0
t na-
zyvaets garmoniqeskim kolebaniem krugovo$i qastoty
ω
0
so
sluqa$ino$i amplitudo$i i fazo$i, poskol~ku ego mono predsta-
vit~ v vide
ξ
(t
) =
A
sin(
ωt +
ϕ
), gde
A =
p
α
2
1
+
α
2
2
— sluqa$ina
amplituda, ϕ = Arctg
α
2
α
1
— sluqa$ina faza.
117

Страницы