Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

D o k a z a t e l ~ s t v o . Dl stacionarnyh i stacionarno svzan-
nyh sluqa$inyh processov ξ(t
)
i
η
(
t
) vypolnts sootnoxeni:
m
ξ
+η
(
t
) = m
ξ
(
t
) + m
η
(t
) =
m
ξ
+
m
η
= const, K
ξ+
η
(
t, t
+ τ
) =
K
ξ
(
t, t
+ τ
) +
+K
ξη
(t, t+
τ)+K
ηξ
(
t, t+
τ
)+K
η
(
t, t
+
τ
) = R
ξ
(τ)+R
ξη
(
τ
)+
R
ηξ
(
τ)+R
η
(τ
)
,
iz kotoryh po teoreme 5.2 sleduet, qto process ξ
(
t) +
η
(t
)
sta-
cionaren v xirokom smysle. J
Sledstvie. Summa nekorrelirovannyh stacionarnyh sluqa$inyh
processov vlets stacionarnym processom.
Teorema 5.4. (
Proizvodna stacionarnogo processa
)
. Stacionar-
ny$i process ξ
(
t
) differenciruem togda i tol~ko togda, kog-
da suwestvuet R
00
ξ
(0) i v tom sluqae ξ
0
(t
) vlets stacio-
narnym processom, stacionarno svzannym s
ξ(
t). Korrelcion-
nye harakteristiki processov
ξ(t) i
ξ
0
(
t)
svzany formulami
R
ξ
0
(
τ) =
−R
00
ξ
(
τ) , R
ξξ
0
(
τ
) =
−R
ξ
0
ξ
(
τ) =
R
0
ξ
(τ). Seqeni processov
ξ
i
ξ
0
v sovpadawie momenty vremeni nekorrelirovany.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie o differenciruemosti sledu-
et iz teoremy 3.2. Formuly dl korrelcionnyh harakteristik
vytekat iz teorem 3.3 i sootnoxeni$i
∂K
ξ
(t, u)
∂t
=
∂R
ξ
(u − t
)
∂t
=
−
R
0
ξ
(u
− t),
∂K
ξ
(
t, u
)
∂u
=
∂R
ξ
(u − t
)
∂u
=
R
0
ξ
(
u
−
t
),
∂
2
K
ξ
(
t, u)
∂t∂u
=
∂
2
R
ξ
(u − t)
∂t∂u
= −
R
00
ξ
(u − t).
V silu togo, qto proizvodna qetno$i funkcii neqetna
R
ξξ
0
(
τ)
τ
=0
= R
0
ξ
(
τ
)
τ=0
= 0
, qto oznaqaet nekorelirovannost~ se-
qeni$i processov ξ i ξ
0
v sovpadawie momenty vremeni.
J
Opredelenie 5.4. (Stacionarnoe integral~noe preobrazovanie
).
Integral~noe preobrazovanie nazyvaets stacionarnym, esli ego
dro zavisit ot raznosti argumentov, t.e.
h
(
t, τ) = h(
t − τ
)
.
Teorema 5.5. (
Stacionarnye integral~nye preobrazovani sta-
cionarnyh processov
). Pust~ η
(
t) =
R
∞
−∞
h
(t
− τ)
ξ
(τ
)dτ
,
ξ(t
) —
stacionarny$i process. Esli
R
∞
−∞
|h
(
t)|
dt < ∞
, to process
η(
t)
stacionaren i stacionarno svzan s processom
ξ(t). Harakteris-
tiki processov
ξ
(
t)
i
η
(t
) svzany formulami
m
η
=
m
ξ
Z
∞
−∞
h
(t
)dt , R
η
(τ) =
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
h
(
s
1
)h
(
s
2
)R
ξ
(τ −
s
2
+ s
1
)
ds
1
ds
2
,
R
ξη
(τ) =
Z
∞
−∞
h
(s
)
R
ξ
(
τ −
s
)ds
.
119

Страницы