Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie sleduet iz teoremy 3.6, so-
otnoxeni$i
K
η
(t
1
, t
2
) =
R
∞
−∞
R
∞
−∞
h
(
t
1
−
r
1
)
h
(
t
2
−
r
2
)R
ξ
(r
2
− r
1
)
dr
1
dr
2
=
=
R
∞
−∞
R
∞
−∞
h(s
1
)h
(s
2
)
R
ξ
(t
2
−t
1
−
s
2
+
s
1
)ds
1
ds
2
, K
ξη
(
t
1
, t
2
) =
R
∞
−∞
h
(
t
2
−
−r
2
)R
ξ
(r
2
−
t
1
)
dr
2
=
R
∞
−∞
h(
s)
R
ξ
(
t
2
−
t
1
−s)ds
i absoltno$i integri-
ruemosti funkcii h
(
t)
na
(
−∞
,
∞
)
. J
Esli korrelcionna funkci stacionarnogo processa
ξ
(
t
) udovletvoret uslovi absoltno$i integriruemosti na
(
−∞
, ∞
)
, to dl R
ξ
(τ)
suwestvuet preobrazovanie Fur~e i
potomu mono opredelit~ funkci S
ξ
(ω
), svzannu s
R
ξ
(
τ)
sootnoxenimi
S
ξ
(
ω) =
1
π
Z
∞
−∞
R
ξ
(
τ
)e
−iωτ
dτ, R
ξ
(τ
) =
1
2
Z
∞
−∞
S
ξ
(
ω
)e
iωτ
dω.
(1)
Netrudno dokazat~, qto funkci S
ξ
(ω
)
vlets nepreryvno$i
qetno$i neotricatel~no$i funkcie$i. V silu qetnosti funkci$i
R
ξ
(
τ
)
, S
ξ
(
ω
)
formuly (1) mono perepisat~ v vide
S
ξ
(ω) =
2
π
Z
∞
0
R
ξ
(
ω) cos ωτdτ , R
ξ
(
τ) =
Z
∞
0
S
ξ
(
τ) cos
ωτ dω .
(2)
Opredelenie 5.5. (
Spektral~na plotnost~). Qetna neotrica-
tel~na funkci
S
ξ
(
ω
)
, svzanna formulami (1)
s korrelcion-
no$i funkcie$i
R
ξ
(
τ
)
, nazyvaets spektral~no$i plotnost~
(spek-
trom) stacionarnogo processa s nepreryvnym spektrom
ξ(
t).
Hot uslovie absoltno$i integriruemosti, pri kotorom su-
westvuet nepreryvny$i spektr, kaets dovol~no obwim, suwes-
tvut stacionarnye processy s korrelcionnymi funkcimi,
ne udovletvorwimi tomu uslovi. Process v primere 4.1
(garmoniqeskoe kolebanie qastoty ω
0
so sluqa$ino$i amplitudo$i
i fazo$i), v kotorom
α, β
— nekorrelirovannye sluqa$inye
veliqiny s m
α
=
m
β
= 0
, Dα = Dβ = σ
2
0
, vlets stacionar-
nym v xirokom smysle sluqa$inym processom s korrelcionno$i
funkcie$i R(
τ) = σ
2
0
cos
ωτ , ne vlwe$is absoltno integrirue-
mo$i na
(
−∞
, ∞), i dl togo processa spektral~na plotnost~
S
ξ
(ω)
kak obyqna funkci ne suwestvuet. Esli e oprede-
lit~ obobwennu funkci
δ
(
t
) kak funkci, de$istvuwu pod
znakom integrala na nepreryvnu funkci
f
(t
)
po pravilu
R
∞
−∞
δ
(
t
−t
0
)
f(t)dt
=
f
(
t
0
), to spektr processa
ξ(t
) mono zapisat~
v vide
S
ξ
(ω) = σ
2
0
(δ
(
ω −
ω
0
)+
δ
(ω +
ω
0
)). Rassmotrenny$i primer v-
lets qastnym sluqaem stacionarnogo processa s diskretnym
spektrom. V obwem sluqae stacionarny$i v xirokom smysle
process s diskretnym spektrom predstavlets v vide
120

Страницы