Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

K
ξ
0
(
t, u
) =
l.i
.m.
s→t
ξ
◦
(s)
− ξ
◦
(t
)
s −
t
, l.i
.m
.
r→u
ξ
◦
(
r)
−
ξ
◦
(
u)
r −
u
!
=
= lim
s
→
t
lim
r
→u
K
ξ
(
s, r
)
− K
ξ
(
t, r) − K
ξ
(s, u) + K
ξ
(t, u)
(
s
− t
)(
r
− u
)
=
∂
2
K
ξ
(
t, u
)
∂t ∂u
.
Opredelenie 3.3.
(Opredelenny$i integral sluqa$inogo processa
)
.
Pust~ sluqa$iny$i process
ξ
(t)
opredelen na otrezke [a, b], ko-
tory$i razbit na
n qaste$i toqkami a =
t
0
< t
1
<
. . . < t
n
= b.
Opredelennym integralom v s. k. sluqa$inogo processa
ξ(
t) v
predelah ot a do b
nazyvaets predel v s. k. integral~nyh
summ
Z
b
a
ξ
(
t)
dt
l.
i.
m.
n→∞
max ∆t
i
→0
s
n
, gde s
n
=
P
n
i
=1
ξ
(
t
0
i
)∆
i
,
∆t
i
=
t
i
−
t
i
−
1
.
Teorema 3.4. (
Kriteri$i integriruemosti v s. k.). Nepreryvny$i
v s. k. process ξ(
t)
integriruem v s. k. na
[a, b
] togda i tol~ko
togda, kogda suwestvut
R
b
a
m
ξ
(t
)
dt
i
R
b
a
R
b
a
K
ξ
(t, u)
dtdu.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Po teoreme 2.4
R
b
a
ξ
(t)dt suwestvu-
et togda i tol~ko togda, kogda suwestvut predely:
lim
n→∞
Ms
n
= lim
n
→∞
n
X
i
=1
m
ξ
(t
0
i
)∆
t
i
=
Z
b
a
m
ξ
(t)
dt ,
lim
m,n→∞
K
s
m
s
n
= lim
m,n
→∞
m
X
i
=1
n
X
j
=1
K
ξ
(
t
0
i
, u
0
j
)∆t
i
∆u
j
=
Z
b
a
Z
b
a
K
ξ
(
t, u)dtdu . J
Teorema 3.5.
(
Svo$istva integrala v s. k.
)
. Esli
ξ
(t
)
— in-
tegriruemy$i sluqa$iny$i process i
η =
R
b
a
ξ(
t)
dt, to
:
Mη
=
Z
b
a
m
ξ
(t
)
dt , K
ξ(t
)η
=
Z
b
a
K
ξ
(
t, u)
du , Dη =
Z
b
a
Z
b
a
K
ξ
(t, u)
dtdu
.
D o k a z a t e l ~ s t v o .
Mη
= lim
n
→∞
P
n
i=1
m
ξ
(
t
0
i
)∆
t
i
=
R
b
a
m
ξ
(t)dt.
K
ξ
(
t)
η
=
ξ
◦
(t
) ,
l.
i
.m
.
n
→∞
n
X
i
=1
ξ
◦
(u
0
i
)∆u
i
!
= lim
n
→∞
M
n
X
i
=1
ξ
◦
(t
)ξ
◦
(u
0
i
)∆u
i
!
=
= lim
n
→∞
n
X
i=1
K
ξ
(t, u
0
i
)∆
u
i
=
Z
b
a
K
ξ
(t, u)
du
.
Dη
=
M
l.i.m.
m
→∞
m
X
i=1
ξ
◦
(
t
0
i
)∆
t
i
, l
.
i
.
m
.
n
→∞
n
X
j=1
ξ
◦
(u
0
j
)∆u
j
=
= lim
m
→∞
lim
n→∞
M
m
X
i
=1
n
X
j=1
ξ
◦
(
t
0
i
)ξ
◦
(u
0
j
)∆t
i
∆
u
j
=
Z
b
a
Z
b
a
K
ξ
(t, u)dtdu
. J
115

Страницы