Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Teorema 2.4. (
Kriteri$i suwestvovani predela v s. k.)
. Dl
suwestvovani l
.
i.m.
n→∞
ξ
n
neobhodimo i dostatoqno suwestvovanie
koneqnyh predelov
lim
n→∞
Mξ
n
, lim
m,n
→∞
K
ξ
m
ξ
n
. Esli l
.i
.
m
.
n→∞
ξ
n
=
η , to
M
(l
.
i
.
m
.
n
→∞
ξ
n
) = Mη i lim
m,n→∞
K
ξ
m
ξ
n
= Dη .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Podstavl v formulu
Dξ = Mξ
2
−
(
Mξ
)
2
vyraeni ξ
=
ξ
m
−
ξ
n
i
ξ =
ξ
n
− η , poluqim ravenstva:
||
ξ
m
−
ξ
n
||
2
=
||ξ
◦
m
− ξ
◦
n
||
2
+ (Mξ
m
− Mξ
n
)
2
, (1)
||ξ
n
− η
||
2
=
||
ξ
◦
n
− η
◦
||
2
+ (Mξ
n
− Mη
)
2
,
(2)
V silu polnoty prostranstv L
2
(Ω
, A
, P )
,
R iz (1) sledu-
et, qto
l
.
i.m
.
n→∞
ξ
n
suwestvuet togda i tol~ko togda, kogda
suwestvut l.
i
.m
.
n
→∞
ξ
◦
n
,
lim
n
→∞
Mξ
n
. Esli
l.
i.m.
n
→∞
ξ
n
=
η ,
to iz (2) sleduet, qto
l.
i.m
.
n
→∞
ξ
◦
n
= η
◦
, lim
n
→∞
Mξ
n
=
Mη .
Uqityva nepreryvnost~ skalrnogo proizvedeni poluqim
lim
m,n
→∞
K
ξ
m
ξ
n
= lim
m,n→∞
(
ξ
◦
m
, ξ
◦
n
) =
||η
◦
||
2
= Dη
◦
.
Esli suwestvut lim
n→∞
Mξ
n
=
m i lim
m,n
→∞
K
ξ
m
ξ
n
= c
,
to
lim
m,n→∞
(Mξ
m
−
Mξ
n
) =
m − m = 0, lim
m,n→∞
||
ξ
◦
m
−
ξ
◦
n
||
2
=
= lim
m,n→∞
(
K
ξ
m
ξ
m
−2K
ξ
m
ξ
n
+
K
ξ
n
ξ
n
) =
c
−2c+
c = 0 i iz (1) sleduet,
qto
lim
m,n→∞
||ξ
m
−
ξ
n
||
= 0. Potomu suwestvuet l.i
.
m.
n→∞
ξ
n
. J
Sledstvie. V teoreme mono zamenit~
ξ
n
, n
→ ∞
, Mξ
n
,
K
ξ
m
ξ
n
, m, n → ∞ na
ξ
(t
)
, t →
t
0
, m
ξ
(
t
)
, K
ξ
(t, u
), (
t, u
) → (t
0
, t
0
)
,
sootvetstvenno.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pri lim
n
→∞
t
n
= t
0
l
.
i
.
m.
t
→t
0
ξ
(
t) = l.i.m.
n
→∞
ξ
(
t
n
). J
3. Differencirovanie, integrirovanie sluqa$inyh processov
Process vtorogo pordka ξ
(t
)
mono rassmatrivat~ kak
krivu v prostranstve L
2
(Ω, A
, P
)
, zadannu parametriqeski
pri pomowi parametra
t. Nepreryvnost~ i differenciruemost~
processa
ξ
(
t) mono ponimat~ kak nepreryvnost~ i differen-
ciruemost~ to$i krivo$i.
Opredelenie 3.1.
(
Nepreryvnost~ v s. k. sluqa$inyh processov
)
Sluqa$iny$i process 2-go pordka
ξ
(t) nazyvaets nepreryvnym v
s. k. v toqke
t
0
, esli ξ(t
0
) = l
.i.
m
.
t
→t
0
ξ(
t)
.
Zameqanie. Iz nepreryvnosti v s. k. sluqa$inogo processa ne
sleduet obyqna nepreryvnost~ ego realizaci$i.
113

Страницы