Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

vyborku ξ
, to poluqennye vyraeni budut sluqa$inymi veli-
qinami — ocenkami teoretiqeskih harakteristik. Nekotorye iz
tih sluqa$inyh veliqin zavist ot dopolnitel~nyh peremennyh
i potomu nazyvats sluqa$inymi funkcimi tih peremennyh.
Tak P
∗
(B
|ξ
)
vlets sluqa$ino$i funkcie$i borelevskih podmno-
estv de$istvitel~no$i osi, kotoru mono nazvat~ sluqa$ino$i
verotnostno$i mero$i na
R
;
F
∗
(
x|
ξ ) — sluqa$ina funkci pe-
remenno$i
x
;
α
∗
k
(
ξ
)
, µ
∗
k
(ξ ) — sluqa$inye veliqiny.
Teorema 2.2. (
Svo$istva mpiriqeskih harakteristik)
. Pust~
ξ
— sluqa$ina vyborka iz general~no$i sovokupnosti s raspredele-
niem P , imewim koneqnye momenty
α
k
. Togda pri
n → ∞
:
P
∗
(
B|ξ )
P
∞
−→ P
(B
)
, MP
∗
(
B
) =
P
(B
);
α
∗
k
(
ξ )
P
∞
−→
α
k
, Mα
∗
k
= α
k
, Dα
∗
k
= n
−1
(α
2k
− α
2
k
);
µ
∗
k
(ξ )
P
∞
−→
µ
k
, Mµ
∗
k
=
µ
k
+
O(
n
−1
), Dµ
∗
k
=
e
Dµ
∗
k
+
O(
n
−
2
)
,
gde
e
Dµ
∗
k
=
n
−
1
(µ
2
k
−
2kµ
k
−1
µ
k +1
− µ
2
k
+ k
2
µ
2
µ
2
k
−
1
)
. Pri n
→ ∞
raspredeleni α
∗
k
(
ξ )
i µ
∗
k
(ξ )
pribliats k
N(α
k
, Dα
∗
k
))
i
N(µ
k
,
e
Dµ
∗
2
), sootvetstvenno.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Po zakonu bol~xih qisel v forme Ber-
nulli P
∗
(B|
ξ )
P
∞
−→ P
(
B
)
pri
n
→ ∞
i MP
∗
(B) = P (
B
)
. Pri-
men sledstvie zakona bol~xih qisel v forme Qebyxeva
k posledovatel~nosti {ξ
k
n
}
∞
n
=1
, poluqim α
∗
k
(ξ )
P
∞
−→ α
k
, priqem
Mα
∗
k
=
1
n
n
X
i=1
Mξ
k
i
=
α
k
, Dα
∗
k
=
1
n
2
n
X
i
=1
D(
ξ
k
) =
α
2k
− α
2
k
n
. Dokazatel~-
stva ostal~nyh utverdeni$i teoremy mono na$iti v [4].
J
Po teoreme 2.2 mpiriqeskie harakteristiki P
∗
, F
∗
, α
∗
k
vlts sostotel~nymi nesmewennymi ocenkami teoretiqeskih
harakteristik P, F, α
k
, a
µ
∗
k
— v obwem sluqae tol~ko
sostotel~nymi ocenkami µ
k
.
Teorema 2.3. (
Ocenki dispersii
)
. Pri izvestnom m sosto-
tel~no$i nesmewenno$i ocenko$i
µ
2
vlets
s
2
0
=
1
n
P
n
i=1
(x
i
−
m
)
2
=
= µ
∗
2
+ (
x −m)
2
. Moment
µ
∗
2
pri neizvestnom
m
vlets sosto-
tel~no$i smewenno$i ocenko$i
µ
2
, a
s
2
=
nµ
∗
2
n
− 1
=
1
n
− 1
P
n
i
=1
(
x
i
−
x
)
2
— sostotel~no$i nesmewenno$i ocenko$i
µ
2
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Primen sledstvie zakona bol~xih qisel
v forme Qebyxeva k {
(ξ
n
−
m)
2
}
∞
n=1
, poluqim s
2
0
P
∞
−→ µ
2
, priqem
Ms
2
0
=
1
n
n
X
i=1
M
(
ξ
i
−
m
)
2
=
µ
2
. Uqityva
1
n
n
X
i=1
(
x
i
− x) = 0, poluqim
126

Страницы