Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

s
2
0
=
1
n
P
n
i
=1
((
x
i
−x) + (x −
m))
2
=
µ
∗
2
+ (
x −
m)
2
, otkuda sleduet, qto
Mµ
∗
2
=
Ms
2
0
− M(
α
∗
1
− m)
2
=
n − 1
n
µ
2
i
Ms
2
=
n
n
− 1
Mµ
∗
2
= µ
2
.
J
Teorema 2.4. (
Raspredeleni nekotoryh funkci$i sluqa$ino$i vyborki
obema n
iz general~no$i sovokupnosti s raspredeleniem
N(m, σ
2
))
.
Pust~ T
n
(x|
m, σ) σ
−1
√
n
(
x
− m
)
. Togda:
T
n
(ξ |
m, σ
)
imeet normal~noe raspredelenie
N(0
,
1)
,
T
n
(
ξ |
m, s
0
) imeet
t-raspredelenie s n stepenmi svobody,
T
n
(
ξ |
m, s) imeet
t-raspredelenie s n − 1 stepenmi svobody,
ns
2
0
(
ξ )/σ
2
imeet
χ
2
-raspredelenie s n stepenmi svobody,
ns
2
(ξ )/σ
2
imeet
χ
2
-raspredelenie s
n − 1
stepenmi svobody.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Harakteristiqeska funkci ϕ(
t)
slu-
qa$ino$i veliqiny T
n
(
ξ
|
m, σ) svzana s harakteristiqeskimi
funkcimi
ϕ
ξ
k
(t) vyboroqnyh znaqeni$i sootnoxeniem ϕ
η
(
t) =
=
Q
n
k
=1
e
−
imt
ϕ
ξ
k
(
t)
t
:=(
σ
√
n)
−
1
t
. Pri
ϕ
ξ
k
(
t) = e
imt
−σ
2
t
2
/
2
, poluqim
ϕ(t
) = e
−
t
2
/
2
, qto sootvetstvuet raspredeleni N(0, 1). Doka-
zatel~stvo ostal~nyh utverdeni$i mono na$iti v [4].
J
3. Ocenivanie parametrov raspredeleni
Esli seme$istvo raspredeleni$i general~no$i sovokupnosti za-
daets parametriqeski P = {
P ( .
| θ ) : θ ∈ Θ }, to voznikaet
zadaqa ocenki parametra θ
. Rassmotrim dva metoda rexeni
to$i zadaqi predpolaga, qto raznym znaqenim parametra so-
otvetstvut raznye raspredeleni.
3.1. Metod momentov
Esli raspredelenie general~no$i sovokupnosti zavisit ot pa-
rametra θ
, to i momenty general~no$i sovokupnosti zavist ot
togo parametra, t. e.
α
k
=
α
k
(
θ )
, µ
k
= µ
k
(
θ ) . Poskol~ku mpi-
riqeskie momenty shodts k teoretiqeskim, to pri dostatoqno
bol~xom obeme vyborki α
k
(
θ
) ≈
α
∗
k
, µ
k
(
θ
) ≈
µ
∗
k
. V osnove
metoda momentov leat ti pribliennye ravenstva.
Opredelenie 3.1. (
Ocenka po metodu momentov
)
. Pust~
g (
θ ) =
= (
g
1
(θ
), . . .
, g
q
(
θ )) :
Θ →
R
q
— nepreryvna vzaimno odnoznaqna
vektor-funkci, komponentami kotoro$i vlts naqal~nye ili
central~nye momenty;
g
∗
— vektor, komponentami kotorogo
vlts sootvetstvuwie mpiriqeskie momenty, vyqislennye
po vyborke obema n. Esli g
∗
∈
g
(
Θ ), to ocenko$i parametra θ
po metodu momentov nazyvaets
b
θ
= g
−
1
(
g
∗
). Inymi slovami,
b
θ vlets rexeniem uravneni
g
(
θ ) = g
∗
.
127

Страницы