Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Takim obrazom, kaqestvo kriteri δ
opredelets dvum ve-
rotnostmi:
α(W
δ
), nazyvaemo$i razmerom
kritiqesko$i oblasti
W
δ
ili kriteri δ ; 2) β(
W
δ
)
, nazyvaemo$i
mownost~
kriti-
qesko$i oblasti W
δ
ili kriteri δ . Na pervy$i vzgld neobho-
dimo vybirat~ kriteri$i tak, qtoby ego razmer byl minimalen,
a ego mownost~ maksimal~na. Odnako ti trebovani proti-
voreqivy. Potomu postupat sleduwim obrazom: fiksirut
dopustimy$i razmer α
, nazyvaemy$i
urovnem znaqimosti, i iz
vseh kriteriev δ , udovletvorwih uslovi
α
δ
6
α
, vybirat
tot, u kotorogo maksimal~na mownost~
β
δ
.
Teorema 4.1. (
Lemma Ne$imana–Pirsona
). Pust~ general~na so-
vokupnost~ imeet nepreryvnoe raspredelenie s plotnost~ ve-
rotnosti
f
. Pri proverke prosto$i gipotezy f
(x
) =
f(x
|H
) i
prosto$i al~ternative f(x
) = f
(x|
H)
iz vseh kriteriev razmera
α naibolee mownym vlets kriteri$i s kritiqesko$i oblas-
t~ W = W
NP
(
c
) =
{
x
∈ R
n
:
cf
ξ
(
x
|H) −
f
ξ
(
x|
H
)
>0
}, gde c >
0
opredelets uravneniem
α(
W
) = α
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Rassmotrim funkci
g
(
x) = (
I
W
(
x
)
− I
W
1
(x
))(
cf
ξ
(
x|H
)
−
f
ξ
(
x
|H
)) ,
gde W
1
— lba kritiqeska oblast~ razmera α
(
W
1
)
6
α. Fun-
kci
g(x ) neotricatel~na, tak kak pri
x ∈ W
obe skobki v
vyraenii dl g(x) neotricatel~ny, a pri x
∈
W nepoloi-
tel~ny. Potomu
0
6
Z
R
n
g(x)d
x
= c
Z
W
f
ξ
(
x
|
H
)
d
x −
c
Z
W
1
f
ξ
(x
|
H
)
d
x −
Z
W
f
ξ
(x
|H)d
x+
+
Z
W
1
f
ξ
(x|H)
d
x
=
c
(β(
W
)
− β
(
W
1
))
− (α −
α
(W
1
))
.
Poskol~ku α −
α
(W
1
)
>
0
i
c > 0, to iz poluqenno$i cepoqki so-
otnoxeni$i sleduet, qto
β(W )
>β
(
W
1
), t. e. kriteri$i, opredel-
emy$i kritiqesko$i oblast~
W vlets naibolee mownym. J
Kriteri$i, o kotorom idet req~ v teoreme 4.1, nazyvaets
kriteriem Ne$imana–Pirsona.
Teorema 4.2.
(Kriteri$i ideal~nogo nabldatel
)
. Pust~ gene-
ral~na sovokupnost~ imeet nepreryvnoe raspredelenie s plot-
nost~ verotnosti
f
. Pri proverke prosto$i gipotezy
f
(
x) =
=
f(x
|H) i prosto$i al~ternative f(x) =
f(
x|
H
)) minimal~noe
znaqenie summy verotnoste$i oxiboqnyh rexeni$i obespeqivaet
kritiqeska oblast~
W =
W
NP
(1)
.
135

Страницы