Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

D o k a z a t e l ~ s t v o . Summa verotnoste$i oxiboqnyh rexeni$i
ravna P
= 1 −β
(
W ) + α(W
) = 1
−
Z
W
(
f
ξ
(
x|H
) −
f
ξ
(
x|H
))
dx
, otkuda
vidno, qto
P minimal~no togda, kogda v W
vhodt vse toqki
x , udovletvorwie uslovi f
ξ
(x|
H) −
f
ξ
(
x
|H)
>
0. J
Netrudno videt~, qto kritiqeskie oblasti
W
NP
(c) mono
opredelit~ sleduwe$i formulo$i:
W
NP
(c
) = {x ∈ R
n
: Λ(
x)6c}
,
gde Λ(x
) =
f
ξ
(
x|H
)
f
ξ
(
x
|
H)
— statistika, nazyvaema
otnoxeniem
pravdopodobi$i
gipotez
H
i H . Oqevidno, al~ternativa H dol-
na byt~ otvergnuta pri
f
ξ
(x|
H
) = 0 i potomu sleduet sqi-
tat~, qto v tom sluqae Λ(
x) = ∞
. Otnoxenie kvivalentnos-
ti
Ker Λ (sm. primer II.2.2) porodaet razbienie vyboroqnogo
prostranstva na giperpoverhnosti {x : Λ(x
) =
λ} urovn
λ
ot-
noxeni pravdopodobi$i. sno, qto
W
NP
(
c
) =
[
λ6
c
{
x
: Λ(x) =
λ}
.
Primer 4.1.
Proverka prostyh gipotez o matematiqeskom oi-
danii normal~nogo raspredeleni po kriteri Ne$imana–Pirsona.
Pust~ general~na sovokupnost~ imeet raspredelenie N(m, σ
2
)
s izvestno$i dispersie$i
σ
2
. Trebuets proverit~ gipotezu
H
0
= (m
= m
0
) pri al~ternative H
1
= (m
=
m
1
) po vyborke
x
obema
n
. V tom sluqae
Λ(x) =
exp
−
1
2σ
2
n
X
i
=1
(
x
i
− m
0
)
2
!
exp
−
1
2σ
2
n
X
i=1
(
x
i
− m
1
)
2
!
= exp
d
2
2
−
T
n
(x|m
0
, σ
)
d
,
gde d =
√
n
m
1
− m
0
σ
. Spravedliva kvivalenci
(
x
∈
W )
∼
(T
n
(
x|
m
0
, σ
)6γ
)
pri
d > 0
(T
n
(x
|m
0
, σ)
6 −
γ) pri d <
0
, gde γ = −
ln c
|
d
|
+
|
d|
2
,
iz kotoro$i sleduet ravenstvo
P
(ξ ∈
W ) =
P
(
T
n
(ξ
|m
0
, σ
)
>γ)
pri d >
0
P
(T
n
(ξ
|m
0
, σ
)6 −
γ) pri d <
0
.
Pri kriterii Ne$imana–Pirsona porogovoe znaqenie
γ
vybi-
raets tak, qtoby vypolnlos~ uslovie P
(ξ ∈ W
|H
0
) = α. Po
teoreme 2.4 funkci T
n
(
ξ |m
0
, σ)
pri gipoteze
H
0
imeet ras-
predelenie N
(0, 1)
. Otsda sleduet, qto γ
= u
1
−α
. Netrudno
dokazat~, qto pri al~ternative
H
1
funkci T
n
(ξ
|
m
0
, σ
) imeet
raspredelenie N
(
d,
1). Potomu mownost~ kriteri Ne$imana-
Pirsona ravna
136

Страницы